Как решить: В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность?

Для нахождения наименьшего расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности, необходимо учитывать стороны треугольника и его полупериметр. Давайте пошагово разберем процесс решения этой задачи:

### Шаг 1: Нахождение полупериметра
  
Полупериметр треугольника обозначается как "s" и вычисляется по формуле:
  
s = (a + b + c) / 2

где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае:
  
a = 6, b = 7, c = 8. 

Подставим значения:

s = (6 + 7 + 8) / 2 = 21 / 2 = 10.5.

### Шаг 2: Нахождение расстояний от вершин до точек касания

Каждое из расстояний от вершин до точек касания вписанной окружности можно вычислить через полупериметр и длину противолежащей стороны с помощью следующих формул:

- Расстояние от вершины A до точки касания на стороне a:
  
d_A = s - a

- Расстояние от вершины B до точки касания на стороне b:
  
d_B = s - b

- Расстояние от вершины C до точки касания на стороне c:
  
d_C = s - c

Теперь подставим наши значения:

- `d_A = s - a = 10.5 - 6 = 4.5`
- `d_B = s - b = 10.5 - 7 = 3.5`
- `d_C = s - c = 10.5 - 8 = 2.5`

### Шаг 3: Определение наименьшего расстояния

Теперь у нас есть три расстояния:

- d_A = 4.5
- d_B = 3.5
- d_C = 2.5

Наименьшее из этих расстояний:

min(d_A, d_B, d_C) = min(4.5, 3.5, 2.5) = 2.5.

### Ответ

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со стороной треугольника равно 2.5.

### Дополнительные замечания

Вписанная окружность треугольника всегда касается всех трёх сторон, а расстояния от вершин до точек касания являются важными характеристиками треугольника. Они также помогают в ряд других геометрических задач, связанных с нахождением центров масс, координат, и прочего.

Данные свойства могут быть полезны при изучении треугольной геометрии, тригонометрии, а также в архитектурных и инженерных задачах, связанных со строительством и проектированием. Не забывайте, что подобные задачи требуют внимательности и аккуратности в вычислениях, так как любые округления могут привести к помаркам в дальнейшем.