Как решить: В треугольнике ABC отрезки BD и BE делят угол ∠ABC на 3 части?

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с четкого и последовательного анализа углов нашего треугольника ABC. Мы знаем, что отрезки BD и BE делят угол ∠ABC на три равные части, а отрезки CF и CG делят угол ∠ACB также на три равные части. Имеем:

1. Угол ∠ABC делится на три равные части. Обозначим угол ∠ABE как α и угол ∠DBE как α. Таким образом, угол ∠ABC равен 3α.
  
2. Угол ∠ACB делится на три равные части. Обозначим угол ∠ACF как β и угол ∠FCG как β. Таким образом, угол ∠ACB равен 3β.

Теперь давайте воспользуемся данными углами:

3. Из условия задачи известно, что ∠BMC = 107°, а ∠BNC = 109°.

### Отношение углов:
- Рассмотрим углы при точке M. Угол ∠BMC может быть выражен как сумма углов ∠ABM и ∠CBM, которые вместе формируют угол ∠ABC:
  
  ∠BMC = ∠ABM + ∠CBM = α + (3α - β) = 4α - β 

- Аналогично, для угла N:
  
  ∠BNC = ∠ABN + ∠CBN = (3α - β) + β = 3α 

### Составим уравнения:
1. По первому уравнению: 

   4α - β = 107°   ---- (1)
   
2. По второму уравнению:

   3α = 109°   ---- (2)

Из уравнения (2) мы можем выразить α:

α = 109° / 3 ≈ 36.33°

Теперь подставим α в уравнение (1):

4 * (109° / 3) - β = 107°

Упрощаем:

(436° / 3) - β = 107°

Теперь переведем 107° в тройную дробь:

107° = 321° / 3

Теперь упростим уравнение:

(436 / 3) - (321 / 3) = β
(115° / 3) = β
β = 115° / 3 ≈ 38.33°

### Найти углы треугольника ABC:
Теперь мы можем найти все углы треугольника ABC:

- Угол ∠ABC равен 3α = 3 * (109° / 3) = 109°
- Угол ∠ACB равен 3β = 3 * (115° / 3) = 115°
- Угол ∠BAC может быть найден по теореме о сумме углов в треугольнике ABC:
  
  ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 109° - 115° = -44°, что неправильно. Это значит, что мы где-то сделали ошибку в расчетах (проверяем).

### Проверка:
Давайте еще раз проверим, достаточно ли нам уравнений и выводов. Возможно, сигнификации не учитывались. 

### Пересмотр:
Мы получили значения для α и β, а на основе их выразим ∠BAC. 

Подсчитаем:

- Позвольте, ∠BAC будет негативным, если мы не учли связи в полученных числах.

Таким образом, это может указывать на то, что в исходной формулировке проблема. Мы могли перепутать какие-то углы или упустить фрагмент логики. Так или иначе, нам нужно исследовать окружение. 

Этот пункт требует внимания должной локализации точек. 

Отметим возможность изложений и решений, где через перегруппировки сумм:

Сейчас мы можем с математическими сокращениями восстановить точность углов. 

Если у вас есть дополнения, которые могут помочь, — стоит обсудить. 

### Заключение:
Мы нашли два угла из условий, но вводятся разночтения. 

Стандартное решение указывает, что все должно быть между 0° и 180° для треугольника. Мы рассмотрели ситуации с пересечениями; теперь требуется чистая формулировка и расчеты. Углы А должны скомпоноваться. Мы проверим через существующие или другие источники для понимания факторов.

Таким образом, формация задач сохраняет свою ценность для формулировки обходов. 

Общая процедура подбора и проверки треугольников требует не только математических расчетов, но и анализа самой структуры. 

Это сложный процесс — мы открыты к обсуждениям!