Как решить: На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи?

Чтобы решить задачу, давайте поступим по шагам, выделяя необходимые логические связи и находя решения системным подходом.

Шаг 1: Определение переменных

Пусть количество задач, решенных каждым участником, обозначим следующими переменными:
- К — количество задач, решенных Катей
- М — количество задач, решенных Мотей
- Ф — количество задач, решенных Федей
- П — количество задач, решенных Пашей

Согласно условию задачи, получаем следующие уравнения:
1. К = Ф + 5 (Катя решила на 5 задач больше Феди)
2. М = П + 6 (Мотя на 6 задач больше Паши)

Шаг 2: Определим условия о количестве задач

Из условия задачи известно, что учитель послал на проверку только две лучшие работы, в сумме которых было решено 19 задач. Это означает, что сумма задач, решенных двумя участниками, равняется 19. 

Шаг 3: Можем выразить одного участника через другого

Для дальнейшей работы подставим выражения из первых двух уравнений в сумму задач. Если K и M - это наши лучшие работы, то у нас есть следующее уравнение:
- K + M = 19

Подставляем полученные уравнения:
- (Ф + 5) + (П + 6) = 19
- Ф + П + 11 = 19
- Ф + П = 8 

Теперь мы знаем, что сумма задач, решенных Федей и Пашей, равна 8.

Шаг 4: Учтём условие о различии задач

Так как все участники решили разное количество задач, нужно учитывать это при выборе значений для Ф и П. Поскольку Ф + П = 8, возможные комбинации (учитывая, что Ф, П - неотрицательные естественные числа и должны быть разными) таковы:
- Ф = 1, П = 7
- Ф = 2, П = 6
- Ф = 3, П = 5

Шаг 5: Определим количество задач, решенных Катей и Мотей

Теперь находим сколько задач в таком случае решают Катя и Мотя:
- Если Ф = 1, П = 7, то: 
  - К = 1 + 5 = 6
  - М = 7 + 6 = 13 
- Если Ф = 2, П = 6, то:
  - К = 2 + 5 = 7
  - М = 6 + 6 = 12
- Если Ф = 3, П = 5, то:
  - К = 3 + 5 = 8
  - М = 5 + 6 = 11 

Теперь у нас есть возможные результаты для задач, решенных каждым участником:
1. (6, 13, 1, 7)
2. (7, 12, 2, 6)
3. (8, 11, 3, 5)

Шаг 6: Подсчитаем общее количество задач

Теперь складываем задачи для каждого варианта:
1. 6 + 13 + 1 + 7 = 27 
2. 7 + 12 + 2 + 6 = 27 
3. 8 + 11 + 3 + 5 = 27 

Шаг 7: Итог

Таким образом, во всех четырех работах было решено 27 задач. Это значение одно для всех рассмотренных вариантов.

Таким образом, ответ на нашу задачу — возможно только одно значение — "27".