Как решить уравнение х²+23=y²? Какой ответ?

Решим уравнение x² + 23 = y² в целых числах. Это уравнение можно переформулировать, упрощая его и исследуя возможные решения.

1. Переписываем уравнение:   
   Начнем с уравнения x² + 23 = y², которое можно переписать в виде y² - x² = 23.

2. Используем разность квадратов:  
   Применяя разность квадратов, мы можем выразить это как (y - x)(y + x) = 23.

3. Анализируем множители 23:  
   Поскольку 23 — это простое число, у него есть следующие положительные делители: 1 и 23. Также стоит учитывать отрицательные множители. 
   Таким образом, нам нужно рассмотреть следующие пары множителей:
   - (1, 23)
   - (23, 1)
   - (-1, -23)
   - (-23, -1)

4. Решаем для каждой пары:  
   Для каждой пары (a, b), где a = (y - x) и b = (y + x), мы можем установить систему уравнений:  
   - y - x = a  
   - y + x = b  

   Теперь мы можем складывать и вычитать эти уравнения.

   Пример: Начнем с пары (1, 23):
   - y - x = 1  
   - y + x = 23  

   Складываем:
   2y = 24  
   y = 12  

   Теперь подставим значение y в одно из уравнений:
   12 - x = 1  
   x = 11

   Таким образом, у нас есть первое решение:  
   (x, y) = (11, 12).

   Повторим процесс для других пар:

   - Для пары (23, 1):
     - y - x = 23  
     - y + x = 1  
     
     Складываем:
     2y = 24  
     y = 12  
     
     Подставляем:  
     12 - x = 23 → x = -11.  
     Решение: (x, y) = (-11, 12).

   - Далее, для пары (-1, -23):
     - y - x = -1  
     - y + x = -23  
     
     Складываем:
     2y = -24  
     y = -12  
     
     Подставляем:
     -12 - x = -1 → x = -11.  
     Решение: (x, y) = (-11, -12).

   - И, наконец, для пары (-23, -1):
     - y - x = -23  
     - y + x = -1  
     
     Складываем:
     2y = -24  
     y = -12  
     
     Подставляем:
     -12 - x = -23 → x = 11.  
     Решение: (x, y) = (11, -12).

5. Все найденные пары решений:  
   Итак, мы нашли следующие целые решения:
   - (11, 12)
   - (-11, 12)
   - (-11, -12)
   - (11, -12)

6. Подсчет уникальных пар:  
   Все пары, приведенные выше, являются уникальными решениями уравнения x² + 23 = y². Каждый из них представляет собой целочисленную пару (x, y).

Итог:  
Уравнение x² + 23 = y² имеет 4 решения в целых числах, которые можно записать в виде пар (x, y): 
1) (11, 12), 
2) (-11, 12), 
3) (-11, -12), 
4) (11, -12).  

Таким образом, количество пар (x; y), являющихся решениями, равно 4.