На окружности расставлены натуральные числа от 1 до 15... Как решить?

Рассмотрим задачу о расстановке натуральных чисел от 1 до 15 на окружности, и проанализируем по пунктам предложенные вопросы.

А. Могли ли все разности быть не меньше 8?

Для каждого соседа на окружности берём два числа x и y (где x > y) и вычисляем разность: D = x - y.

Обозначим минимальную разницу, чтобы удовлетворить условию задачи: D >= 8. Таким образом, для любых двух соседних чисел они должны быть разнесены не меньше, чем на 8 единиц.

1. Если взять минимальное число 1, соседа ему не может быть меньше 9 (поскольку 1 + 8 = 9). Следовательно, следующим числом может быть лишь 9 или больше.
   
2. Рассмотрим последовательность, где каждое число соседнее с числом, которое больше его на 8 или более. Получим такую последовательность: 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15. Однако, заметим, что... 

3. Если бы числа 1 и 15 стояли рядом, разность была бы 14, но это нарушает условия, что числа в последовательности не могут располагаться меньше 8.

Таким образом, мы видим: Невозможно, чтобы все разности были не меньше 8, поскольку просто на окружности не удаётся разместить 15 чисел с такими условиями.

Б. Могли ли все разности быть не меньше 7?

Далее, рассмотрим условия для разностей D >= 7.

1. Используя тот же подход: для любого числа x, соседнее ему должно быть минимум x - 7 или максимальное остается x + 7. Его можно расставить, чтобы как минимум одно было рядом с каждым, без перекрытия.

2. Если начнём с 1, то соседи — это 8 и все последующие числа. Последовательно перемещая по окружности, можно получить следующую последовательность: 1, 8, 2, 9, 3, 10, 4, 11, 5, 12, 6, 13, 7, 14, 15. 

3. При такой расстановке все разности между соседями равны 7 и больше. Например, 8 - 1 = 7, 9 - 2 = 7 и так далее.

Итак, Да, все разности могут быть не меньше 7.

В. Наибольшее значение k для разностей между числами, стоящими через один

1. Теперь рассмотрим расстояния между числами, стоящими через одно — это означает, для чисел i и i+2 (индексы по модулю 15).

2. Например, при расстановке чисел 1, 2, 3, ..., 15 можно взять через одно и найти модуль разности для соседей.

3. Если мы находим модули разностей, обеспечить, чтобы они были как минимум на уровне 5 или выше — это вполне выполнимая задача. Например, 1 и 6, 2 и 7, и так далее.

4. Таким образом, расставив числа на окружности мы можем гарантировать, что k = 5 — выглядит оптимальным и максимально возможным значением.

В заключение, для каждого из вопросов мы видим, что с определённым анализом соседних пар и учётом разностей, можно установить, что значения разностей зависят от изначального способа расстановки чисел.