Как определить синтаксическую роль инфинитивов: Я пришёл извиниться...?

Чтобы разобраться в синтаксических ролях инфинитивов в предложениях, приведённых в примерах, необходимо помнить, что инфинитивы могут выполнять различные функции в предложении.   
Ниже я рассмотрю каждое предложение отдельно, проанализировав синтаксическую роль инфинитивов и опровергнув утверждение Пети о том, что все инфинитивы - сказуемые.

1. "Я пришёл извиниться перед вами."
   - Синтаксическая роль: обстоятельство цели. 
   - Объяснение: В данном предложении инфинитив "извиниться" отвечает на вопрос "зачем?" и указывает на цель прихода: я пришёл для того, чтобы извиниться. Это и есть обстоятельство, уточняющее мотив действия.

2. "Он вышел на сцену и начал петь."
   - Синтаксическая роль: сказуемое.
   - Объяснение: Здесь инфинитив "петь" выполняет роль сказуемого. Он образует составное сказуемое с глаголом "начал". То есть, мы можем интерпретировать это предложение как "Он начал (что?) петь". В этом случае "петь" - это именно то, что он начал делать, служа сказуемым.

3. "Ты даже не попросил разрешения уйти!"
   - Синтаксическая роль: обстоятельство. 
   - Объяснение: В этом предложении инфинитив "уйти" выполняет роль обстоятельства, уточняющего, что именно он не попросил разрешения. Вопрос "на что?" подсказывает, что здесь речь идёт о действии, для которого нужно разрешение.

4. "Жить - родине служить."
   - Синтаксическая роль: сказуемое. 
   - Объяснение: В этом предложении "жить" и "служить" образуют составное сказуемое. Это утверждение по сути говорит о том, что "жить" значит "служить" (родине), где "служить" выполняет функцию объяснения, что такое "жить". Таким образом, оба инфинитива выступают в роли сказуемого.

Итоговое резюме:

Инфинитивы не всегда играют одну и ту же роль в предложении, и ошибочно полагать, что они исключительно сказуемые, как утверждает Петя. Рассмотренные примеры иллюстрируют несколько различных функций:

- "извиниться" - обстоятельство цели;
- "петь" - сказуемое;
- "уйти" - обстоятельство;
- "служить" - сказуемое.

Каждый инфинитив имеет свою уникальную роль, в зависимости от контекста, что делает синтаксический анализ интересным и многослойным процессом. Надеюсь, теперь Петя увидит, что синтаксис — это не только правила, но и нюансы, которые стоит учитывать при анализе предложений!