Как решить: Три деревни, Антоновка, Богатырёво и Каменка ведут между собой?

Для решения задачи о обмене коробок между тремя деревнями — Антоновкой, Богатыревом и Каменкой — давайте детально проанализируем данные и их взаимосвязь.

1. Изначальное количество коробок:
   - Антоновка: 11 коробок
   - Богатырёво: 6 коробок
   - Каменка: 8 коробок

2. Итоговые результаты после обмена:
   - Антоновка получила 7 коробок
   - Богатырёво получил 9 коробок
   - Каменка получил 9 коробок

3. Обмен коробками:
   Каждая деревня обменивалась коробками с двумя другими. Поскольку Антоновка в конце дня получила 7 коробок, это значит, что она потеряла часть своих коробок. Давайте обозначим:
   - X — количество коробок, которыми Антоновка обменялась с Богатыревым.
   - Y — количество коробок, которыми она обменялась с Каменкой.

4. Составление уравнений:
   - После обмена Антоновка имеет: 11 - X - Y = 7. Из этого уравнения можно выразить X + Y:
     - X + Y = 11 - 7
     - X + Y = 4.

   Аналогично, для других деревень можно записать уравнения:
   - Богатырёво получает коробки от Антоновки и Каменки и уходит с 9 коробками:
     - 6 + X - Z = 9, где Z — коробки, которые Богатырёво отдал Каменке.
           Это уравнение можно привести к форме:
     - X - Z = 3.

   - Каменка также получает коробки от Антоновки и Богатырёво:
     - 8 + Y + Z = 9.
           Приведём его к форме:
     - Y + Z = 1.
  
5. Система уравнений:
   Теперь у нас есть система уравнений:
   1. X + Y = 4 (1)
   2. X - Z = 3 (2)
   3. Y + Z = 1 (3)

6. Решение системы:
   Из уравнения (3) выразим Z:
   - Z = 1 - Y.

   Подставим Z в уравнение (2):
   - X - (1 - Y) = 3,
     что перепишем как:
   - X + Y = 4 (заметьте, это уравнение совпадает с уравнением (1)).
   Подставим Z в уравнение (2):
   - X - (1 - Y) = 3 ⇒ X + Y = 4.

   Теперь подставим Y из (1) в уравнение (3). 

   Видим, что можно по очереди подставлять и находить значения. В конечном итоге мы можем найти одно из значений и выразить другие через него. 

7. Итог:
   После подстановок получим, например, что:
   - X = 3,
   - Y = 1,
   - Z = 0.

Таким образом, коробки, которые обменялись между Антоновкой и Богатыревым, составляют 3 коробки. 

Такое решение требует тщательного подхода к системе уравнений, однако именно такая математическая логика и системы позволяют понять, как организуется обмен между пунктами — что делает эту задачу не просто интересной, но и полезной для развития аналитического мышления.