Как решить: У Пети есть три палочки, длины которых равны а см, b см и с см?

Давайте разберем задачу о палочках Пети по пунктам, чтобы понять, каким образом он может сложить треугольник и каковы минимальные периметры.

### Часть а. Наименьший периметр треугольника

Для того чтобы три палочки длиной "а", "b" и "c" могли сложить треугольник, они должны удовлетворять неравенству треугольника:

1. a + b > c
2. a + c > b
3. b + c > a

Учитывая, что у нас есть условие "a = b²", подставим это в неравенства:

1. b² + b > c
2. b² + c > b
3. b + c > b²

Теперь, поскольку "a", "b" и "c" являются натуральными и различными, мы можем выразить "c" через "b" и "a".

Наименьший периметр достигается при малых значениях "b". 

Исследуем несколько вариантов:

- Если "b = 3", тогда "a = 3² = 9" и требуется найти "c" так, чтобы неравенства выполнялись. После подстановки, видим, что даже c=8 подходит, и тогда периметр P = a + b + c = 9 + 3 + 8 = 20.
- Проверяя другие малые значения для "b", получим наименьший периметр при выборе "b" = 3.

### Часть б. Периметры при b = 72

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда "b = 72". Тогда:

- a = 72² = 5184

Теперь подберем возможные значения "c", чтобы выполнялись неравенства треугольника.

- c < 72 + 5184 = 5256 (для первой неравенства)
- c > 5184 - 72 = 5112 (для второй неравенства)
- c > 72² - 72 = 5112 (для третьей неравенства)

Таким образом, допустимые значения для "c" должны быть больше 5112 и меньше 5256. Мы можем перечислить их:

- Значения "c" могут принимать диапазон от 5113 до 5255, причем "c" также должно быть натуральным и отличаться от "a" и "b".

#### Периметры:

Мы можем подсчитать периметры для "c" от 5113 до 5255:

1. Если c = 5113, P = 5184 + 72 + 5113 = 5369
2. Если c = 5114, P = 5184 + 72 + 5114 = 5370
3. И так далее...

Таким образом, конечные периметры находятся в диапазоне от 5369 до 5371 для значений "c", которые соответствуют условиям задачи.

### Заключение

Теперь мы знаем, что:

- Минимальный периметр треугольника с учетом ограничений и при натуральных длинах палочек равен 20, когда b = 3.
- Для конкретного случая b = 72, периметры могут варьироваться от 5369 до 5369 и выше в зависимости от выбора c, которое должно находиться в промежутке от 5113 до 5255.

Эти шаги вооружают нас пониманием как можно комбинировать длины палочек и какие условия должны исполняться для получения корректного результата в виде треугольника.