Как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции?

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функции, необходимо следовать последовательному алгоритму. Вот детальный план действий:

### 1. Определение функции и границ

Первый шаг заключается в том, чтобы определить функцию \( f(x) \), график которой будет ограничивать трапецию. Также нужно установить границы интегрирования — точки, в которых график пересекает ось \( x \) или точки, на которых график функции определен:

- Параметры функции: \( f(x) \), \( a \) и \( b \) (границы интегрирования).

### 2. Нахождение пересечений графиков

Если к фукнции \( f(x) \) добавляется другая функция \( g(x) \), необходимо найти точки их пересечения. Для этого решите уравнение:

\( f(x) = g(x) \)

Эти точки будут служить границами интегрирования.

### 3. Определение области и ориентация

Необходимо понять, какая из функций выше, а какая ниже на интервале от \( a \) до \( b \). Это поможет правильно вычислить площадь. Если \( f(x) \) выше \( g(x) \) в этом интервале, мы будем интегрировать разность \( f(x) - g(x) \).

### 4. Интегрирование

Для нахождения площади криволинейной трапеции, используйте формулу:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]

где:
- \( S \) — площадь между графиками,
- \( f(x) \) — функция выше,
- \( g(x) \) — функция ниже.

Если \( f(x) \) и \( g(x) \) определены, подставьте их в интеграл.

### 5. Вычисление интеграла

Вычислите интеграл, чтобы найти площадь, используя аналитические или численные методы. Если вы используете аналитический метод, следуйте следующим шагам:

- Найдите первообразную для \( f(x) - g(x) \).
- Подставьте границы интегрирования \( a \) и \( b \).

### 6. Проверка результата

Добавьте вычисленные значения, чтобы убедиться в правильности. Проверьте знак результата: площадь не может быть отрицательной, следовательно, если получите отрицательное значение, возьмите модуль.

### 7. Пример

Рассмотрим пример, где \( f(x) = x^2 \) и \( g(x) = x \).

1. Находите пересечения: \( x^2 = x \) → \( x^2 - x = 0 \) → \( x(x - 1) = 0 \). Значит, точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

2. Определите графики на интервале \( [0, 1] \). Здесь \( f(x) = x^2 \) ниже \( g(x) = x \).

3. Установите интеграл:
   
\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \]

4. Найдите первообразную:
   
\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{6} \]

### Заключение

Таким образом, площадь криволинейной трапеции между графиками функции \( f(x) \) и \( g(x) \) на интервале \( [a, b] \) определяется через интеграл разности функций. Обязательно проверьте все корректные шаги и правильность использования границ.