Как решить уравнение 1/(x-1)^2+3/x-1-10=0?

Чтобы разобраться, как решить уравнение 

1 / (x - 1)² + 3 / (x - 1) - 10 = 0, 

давайте пройдемся по всем этапам вместе.

Шаг 1: Упрощение уравнения

Мы начнем с того, что заметим, что у нас есть дробные выражения с общего знаменателя. Чтобы упростить решение, приведем все части уравнения к одному знаменателю. Здесь общим знаменателем будет (x - 1)².

Следовательно, преобразуем уравнение так:

1. Первая часть, 1 / (x - 1)², остается интересной, так как она уже в нужном виде.
2. Вторая часть, 3 / (x - 1), умножаем на (x - 1)/(x - 1), что дает 3(x - 1) / (x - 1)² = (3x - 3) / (x - 1)².
3. Третья часть, -10, умножим на (x - 1)², чтобы выразить её в нужной форме: -10(x - 1)² / (x - 1)² = -10(x² - 2x + 1)/(x - 1)².

Таким образом, сходим к следующему уравнению:

1 + 3(x - 1) - 10(x - 1)² = 0.

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь давайте разложим все скобки:

- Первый член: 1.
- Второй член: 3(x - 1) = 3x - 3.
- Третий член: -10(x - 1)² разложим как -10(x² - 2x + 1) = -10x² + 20x - 10.

Теперь объединим все части воедино:

1 + 3x - 3 - 10x² + 20x - 10 = 0.

Упрощаем это выражение:

-10x² + 23x - 12 = 0.

Шаг 3: Приведение к стандартному виду

Переписываем уравнение в стандартной форме:

10x² - 23x + 12 = 0.

Шаг 4: Использование дискриминанта

В этом квадратном уравнении, чтобы найти корни, найдем дискриминант (D):

D = b² - 4ac,

где a = 10, b = -23 и c = 12.

Вычисляем дискриминант:

D = (-23)² - 4  10  12 = 529 - 480 = 49.

Шаг 5: Нахождение корней уравнения

Корни квадратного уравнения можно находить по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем найденные значения:

x = (23 ± √49) / (20).

Вычисляем корни:

x₁ = (23 + 7) / 20 = 30 / 20 = 1.5,  
x₂ = (23 - 7) / 20 = 16 / 20 = 0.8.

Шаг 6: Проверка корней

Теперь важно убедиться, что эти корни не приводят к делению на ноль в исходном уравнении. Корень x не должен равняться 1, потому что в (x - 1) у нас будет ноль в знаменателе.

- Первый корень x₁ = 1.5, тут все в порядке — (1.5 - 1) ≠ 0.
- Второй корень x₂ = 0.8, тоже не приводит к нулю — (0.8 - 1) ≠ 0.

Ответ

Таким образом, два корня уравнения:

x₁ = 1.5  
x₂ = 0.8  

Это и есть решение нашего исходного уравнения. Теперь вы знаете, как пошагово решать такие уравнения. Удачи в вашей дальнейшей практике!