Как решить параметр: sin2√πax-x² - sin√πax-x² = 0?

Решение уравнения \( \sin(2\sqrt{\pi}ax - x^2) - \sin(\sqrt{\pi}ax - x^2) = 0 \) требует анализа синусоидальных функций с учетом аргументов. Давайте разберем это шаг за шагом.

### 1. Приведение уравнения к более простому виду
Чтобы упростить задачу, воспользуемся следующим свойством синуса:
\[
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
Где:
- \( A = 2\sqrt{\pi}ax - x^2 \)
- \( B = \sqrt{\pi}ax - x^2 \)

Подставим в формулу:
\[
\sin(2\sqrt{\pi}ax - x^2) - \sin(\sqrt{\pi}ax - x^2) = 2 \cos\left(\frac{(2\sqrt{\pi}ax - x^2) + (\sqrt{\pi}ax - x^2)}{2}\right) \sin\left(\frac{(2\sqrt{\pi}ax - x^2) - (\sqrt{\pi}ax - x^2)}{2}\right)
\]

Упрощая, мы получаем:
\[
2 \cos\left(\frac{3\sqrt{\pi}ax - 2x^2}{2}\right) \sin\left(\frac{\sqrt{\pi}ax}{2}\right) = 0
\]

### 2. Анализ полученного уравнения
Уравнение равно нулю, если выполняется одно из условий:
1. \( \cos\left(\frac{3\sqrt{\pi}ax - 2x^2}{2}\right) = 0 \)
2. \( \sin\left(\frac{\sqrt{\pi}ax}{2}\right) = 0 \)

### 3. Решение каждого из условий
#### Условие 1: \( \cos\left(\frac{3\sqrt{\pi}ax - 2x^2}{2}\right) = 0 \)
Существуют значения \( k \in \mathbb{Z} \):
\[
\frac{3\sqrt{\pi}ax - 2x^2}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi
\]
Упрощая это выражение, мы можем найти \( x \) в зависимости от \( a \).

#### Условие 2: \( \sin\left(\frac{\sqrt{\pi}ax}{2}\right) = 0 \)
Существуют значения \( m \in \mathbb{Z} \):
\[
\frac{\sqrt{\pi}ax}{2} = m\pi
\]
В этом случае, опять-таки, можно выразить \( x \) через \( a \).

### 4. Количество решений уравнения
Теперь ключевой вопрос: как найти такие значения \( a \), при которых общее количество решений четко равно двум.

### 5. Условие для ровно двух решений
Чтобы у нас было ровно два решения, анализируем:
- Условия \( \sin\) и \( \cos \) должны давать фиксированное количество пересечений по \( x \).

При больших \( a \) и малых \( x \) количество решений будет возрастать. Следовательно, мы ищем такие \( a \), что границы для количества пересечений лежат в определенном диапазоне, включая критические точки \( x \).

### 6. Применение условия для анализа решений
При \( a \) в зависимости от значений тригонометрических функций (например, \( 0 < k < 1 \)) мы получим две точки, соответствующие касанию функций и определенных значений.

### 7. Вывод
Таким образом, значения \( a \) будут определяться через условия, при которых \( \sin\) и \( \cos\) пересекаются, и нам нужно учитывать, что их пересечения ведут к два решения. Параметр \( a \) должен быть в таком диапазоне, чтобы соответствовать данным условиям, что можно найти при графическом eller аналитическом анализе.