Как решить уравнение 6/((x-1)(x+3))-24/((x-2)(x+4))=1?

Для решения уравнения 

\[
\frac{6}{(x-1)(x+3)} - \frac{24}{(x-2)(x+4)} = 1,
\]

воспользуемся пошаговым подходом.

### Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей в данном уравнении — это произведение всех уникальных множителей из знаменателей двух дробей. В нашем случае:

\[
D = (x-1)(x+3)(x-2)(x+4).
\]

### Шаг 2: Перепишем уравнение с общим знаменателем

Умножим каждую часть уравнения на общий знаменатель \( D \), чтобы избавиться от дробей:

\[
6(x-2)(x+4) - 24(x-1)(x+3) = D.
\]

### Шаг 3: Упростим каждую часть уравнения

Теперь упростим каждую часть. Сначала упростим левую часть:

1. Раскроем скобки в первой дроби:
   \[
   6(x-2)(x+4) = 6(x^2 + 2x - 8) = 6x^2 + 12x - 48.
   \]

2. Перейдем ко второй дроби:
   \[
   24(x-1)(x+3) = 24(x^2 + 2x - 3) = 24x^2 + 48x - 72.
   \]

Объединив обе части, мы получим:

\[
6x^2 + 12x - 48 - (24x^2 + 48x - 72) = D.
\]

### Шаг 4: Приведем подобные

Теперь упростим выражение:

\[
6x^2 + 12x - 48 - 24x^2 - 48x + 72 = D.
\]

Сложите коэффициенты при  \(x^2\), \(x\) и постоянные:

\[
-18x^2 - 36x + 24 = D.
\]

### Шаг 5: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все в одну сторону, получая:

\[
-18x^2 - 36x + 24 - D = 0.
\]

### Шаг 6: Установим равенство

Сравните это уравнение с правой частью, которая также равна 0, и упростим его:

\[
-18x^2 - 36x + 24 = 0.
\]

### Шаг 7: Разделим на -6

Для удобства разделим уравнение на -6:

\[
3x^2 + 6x - 4 = 0.
\]

### Шаг 8: Найдем корни уравнения

Решаем это квадратное уравнение с использованием discriminant:

\[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 36 + 48 = 84.
\]

Корни определяются по формуле:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
\]

Подставляя значения:

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6}.
\]
\[
x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}}{1}.
\]

### Шаг 9: Проверка найденных корней

Начнем подставлять найденные корни в исходное уравнение. Не забудьте проверить наличие ограничений, связанных с обнулением знаменателей. В нашем случае \(x \neq 1\), \(x \neq -3\), \(x \neq 2\), \(x \neq -4\).

### Заключение

Таким образом, решение нашего уравнения:

\[
x = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3} \quad \text{и} \quad x = -1 - \frac{\sqrt{21}}{3}.
\]

Эти корни являются решением уравнения, при условии, что они не приводят к обнулению знаменателя. Всегда помните про проверку условий и наличие корней, так как это важно для завершенности решения.