Как решить: Пять шаров случайным образом распределяются по пяти ящикам?

Чтобы решить задачу о размещении пяти шаров по пяти ящикам с учетом того, что в одном из ящиков окажется три шара, а ровно два ящика останутся пустыми, можно использовать комбинаторный подход. Ниже приведены шаги по решению этой задачи.

### Шаг 1: Понимание задачи

1. **Исходные условия**: У нас имеется 5 шаров и 5 ящиков. Мы хотим найти вероятность того, что:
   - В одном из ящиков окажется 3 шара.
   - Ровно 2 ящика останутся пустыми.
   
2. **Общее количество способов распределения**: То есть количество всех возможных распределений 5 шаров в 5 ящиков.

### Шаг 2: Общее количество распределений

Каждый из 5 шаров может быть помещен в любой из 5 ящиков. Это дает нам:
\[
5^5 = 3125
\]
различных способов распределения шаров по ящикам.

### Шаг 3: Учет условий задачи

Теперь перейдем к количеству благоприятных исходов, которые соответствуют условиям задачи.

1. **Выбор ящика с 3 шарами**: Для начала мы можем выбрать один ящик, в котором будет находиться 3 шара. Это можно сделать 5 способами, так как у нас 5 ящиков.

2. **Распределение шаров**: Из 5 шаров нам нужно выбрать 3, которые попадут в выбранный ящик. Число способов выбрать 3 шара из 5 задается биномиальным коэффициентом:
\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
\]

3. **Распределение оставшихся шаров**: Теперь у нас остаются 2 шара, и нам нужно определить, как разместить их в оставшихся 4 ящиках (поскольку 2 ящика должны остаться пустыми). Поскольку в этой ситуации у нас остается 4 ящика, и мы можем положить один шар в любой из двух ящиков, у нас есть различные варианты размещения оставшихся 2 шаров:

   - **Вероятность того, что оба шара попадут в один из оставшихся двух ящиков**: Мы выбираем 2 ящика из 4 (так как 2 останутся пустыми). Это можно выполнить 6 способами (C(4, 2)). И в каждом из выбранных ящиков мы можем разместить один шар:
   \[
   C(4, 2) = 6
   \]

Таким образом, для двух оставшихся шаров у нас есть 2 способа их разместить: либо оба шара в один ящик, либо по одному в два разных ящика.

### Шаг 4: Общее число благоприятных исходов

Сначала выбираем ящик для 3 шаров, затем выбираем, какие 3 шара поместить в этот ящик, и, наконец, размещаем оставшиеся 2 шара. Таким образом, общее число благоприятных исходов можно записать так:
\[
5 \text{ (выбор ящика)} \times 10 \text{ (выбор шаров)} \times 6 \text{ (размещение оставшихся шаров)} = 300
\]

### Шаг 5: Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность того, что в одном из ящиков окажется 3 шара, а ровно 2 ящика останутся пустыми, разделив количество благоприятных исходов на общее количество способов размещения:
\[
P = \frac{300}{3125}
\]
Упрощая это выражение, получим:
\[
P = \frac{12}{125} \approx 0.096
\]

### Заключение

Вероятность того, что в одном из ящиков окажется 3 шара, а ровно 2 ящика останутся пустыми, составляет \( \frac{12}{125} \) или примерно 9.6%. 

Таким образом, мы прошли все этапы, начиная с определения общего количества исходов и подсчета благоприятных случаев, и закончили вычислением итоговой вероятности. Этот метод позволяет четко и логично структурировать решение комбинаторных задач, что может быть полезно при подготовке к экзаменам, таким как ЕГЭ.