Как найти два числа, сумма которых равна 19, а сумма их квадратов 185?

Чтобы решить задачу о нахождении двух натуральных чисел, сумма которых равна 19, а сумма их квадратов равна 185, можно следовать поэтапному подходу. Разберём решение по пунктам:

Шаг 1: Сформулируем уравнения
Обозначим два числа как \( x \) и \( y \). Из условия задачи у нас есть два уравнения:
1. Сумма двух чисел:  
   \[
   x + y = 19
   \]
2. Сумма квадратов этих чисел:  
   \[
   x^2 + y^2 = 185
   \]

Шаг 2: Выразим одно из чисел через другое
Первое уравнение можно переписать, выразив одно число через другое. Например, выразим \( y \):
\[
y = 19 - x
\]

Шаг 3: Подставим выражение во второе уравнение
Теперь подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:
\[
x^2 + (19 - x)^2 = 185
\]

Шаг 4: Развернём квадрат
Разложим второе уравнение:
\[
x^2 + (19 - x)(19 - x) = 185
\]
\[
x^2 + (361 - 38x + x^2) = 185
\]
Сложив подобные члены, получим:
\[
2x^2 - 38x + 361 = 185
\]

Шаг 5: Переносим все в одну часть уравнения
Затем перенесём 185 в левую часть:
\[
2x^2 - 38x + 176 = 0
\]

Шаг 6: Упростим уравнение
Чтобы упростить расчёты, разделим всё на 2:
\[
x^2 - 19x + 88 = 0
\]

Шаг 7: Найдём дискриминант
Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\[
D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9
\]

Шаг 8: Найдём корни уравнения
Так как дискриминант положителен, можно найти корни уравнения с помощью формулы:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 3}{2}
\]
Расчитаем оба корня:
1. Первый корень:
   \[
   x_1 = \frac{22}{2} = 11
   \]
2. Второй корень:
   \[
   x_2 = \frac{16}{2} = 8
   \]

Шаг 9: Находим значения \( y \)
Теперь найдем значения \( y \) для каждого случая:
1. Если \( x = 11 \):
   \[
   y = 19 - 11 = 8
   \]
2. Если \( x = 8 \):
   \[
   y = 19 - 8 = 11
   \]

Шаг 10: Проверим полученные значения
Теперь важно проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию задачи. Сумма \( 11 + 8 = 19 \) и сумма квадратов \( 11^2 + 8^2 = 121 + 64 = 185 \).

Шаг 11: Записываем ответ
Следовательно, искомые натуральные числа — это 8 и 11. 

Заключение
В данной задаче мы использовали систему уравнений, подстановку и свойства квадратов чисел. Такого рода задачи часто встречаются в школьной программе, и их решение развивает логическое мышление и навыки работы с алгебраическими выражениями. Уверенность в своих математических способностях приходит с практикой, так что решайте больше задач, и у вас всё получится!