Как решить: Моторная лодка прошла 60 км по течению реки, а потом 36 (см)?

Для решения задачи о пути, времени и скорости моторной лодки, давайте разобьем процесс на несколько шагов.

Шаг 1: Понять данные задачи
У нас есть следующие параметры:
- **Скорость течения реки**: \( V_{теч} = 2 \) км/ч.
- **Расстояние по течению**: \( D_{река} = 60 \) км.
- **Расстояние по озеру**: \( D_{озеро} = 36 \) км.
- **Общее время в пути**: \( T_{общ} = 5 \) ч.

Наша задача — найти собственную скорость лодки \( V_{лодки} \).

Шаг 2: Определить скорость лодки относительно земли
При движении по реке лодка использует скорость течения в свою пользу. Таким образом скорость лодки по течению будет:
\[
V_{река} = V_{лодки} + V_{теч} = V_{лодки} + 2 \text{ км/ч}.
\]

При движении по озеру лодка движется со своей собственной скоростью \( V_{лодки} \):
\[
V_{озеро} = V_{лодки}.
\]

Шаг 3: Выразить время в пути
Мы можем выразить время, затраченное на каждую часть пути. Время на движение по реке:
\[
T_{река} = \frac{D_{река}}{V_{река}} = \frac{60}{V_{лодки} + 2}.
\]

Время на движение по озеру:
\[
T_{озеро} = \frac{D_{озеро}}{V_{озеро}} = \frac{36}{V_{лодки}}.
\]

Шаг 4: Записать уравнение для общего времени
Суммируем времена на обоих участках и приравниваем к общему времени:
\[
T_{река} + T_{озеро} = T_{общ}.
\]
Подставляем значения:
\[
\frac{60}{V_{лодки} + 2} + \frac{36}{V_{лодки}} = 5.
\]

Шаг 5: Привести уравнение к общему виду
Умножим обе части уравнения на \( V_{лодки} (V_{лодки} + 2) \), чтобы избавиться от дробей:
\[
60V_{лодки} + 36(V_{лодки} + 2) = 5V_{лодки}(V_{лодки} + 2).
\]
Раскроем скобки:
\[
60V_{лодки} + 36V_{лодки} + 72 = 5V_{лодки}^2 + 10V_{лодки}.
\]
Объединим все слагаемые:
\[
96V_{лодки} + 72 = 5V_{лодки}^2 + 10V_{лодки}.
\]
Перейдем все к одной стороне:
\[
5V_{лодки}^2 - 86V_{лодки} - 72 = 0.
\]

Шаг 6: Решить квадратное уравнение
Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
V_{лодки} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]
где \( a = 5, b = -86, c = -72 \).

Посчитаем дискриминант:
\[
D = (-86)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-72) = 7396 + 1440 = 8836.
\]
Теперь подставим в формулу:
\[
V_{лодки} = \frac{86 \pm \sqrt{8836}}{10}.
\]
Вычисляем:
\[
\sqrt{8836} = 94,
\]
\[
V_{лодки} = \frac{86 \pm 94}{10}.
\]
Решения:
1. \( V_{лодки} = \frac{180}{10} = 18 \) км/ч.
2. \( V_{лодки} = \frac{-8}{10} \) — не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Шаг 7: Итог
Таким образом, собственная скорость лодки составляет \( V_{лодки} = 18 \) км/ч. Этот показатель позволяет лодке за 5 часов пройти указанные расстояния по реке и озеру, учитывая скорость течения.