Как решить показательное уравнение (1/8) ^(5x²+3x)= 2^-1?

Чтобы решить показательное уравнение \((\frac{1}{8})^{(5x^2 + 3x)} = 2^{-1}\), давайте выполните решение поэтапно. 

### Шаг 1: Преобразование оснований

На первом этапе преобразуем основание слева:
\[
\frac{1}{8} = 2^{-3},
\]
поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:
\[
(2^{-3})^{(5x^2 + 3x)} = 2^{-1}.
\]

### Шаг 2: Применение свойств степеней

Согласно свойствам степеней, \((a^m)^n = a^{mn}\), мы можем упростить левую часть уравнения:
\[
2^{-3(5x^2 + 3x)} = 2^{-1}.
\]

### Шаг 3: Уравнивание показателей

Теперь, поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели:
\[
-3(5x^2 + 3x) = -1.
\]

### Шаг 4: Устранение отрицательных знаков

Умножим обе стороны уравнения на -1:
\[
3(5x^2 + 3x) = 1.
\]

### Шаг 5: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки:
\[
15x^2 + 9x = 1.
\]

### Шаг 6: Приведение уравнения к стандартному виду

Перенесем все элементы влево, чтобы уравнение приняло стандартный вид \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
15x^2 + 9x - 1 = 0.
\]

### Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Теперь мы применим формулу квадратичного уравнения:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]
где \(a = 15\), \(b = 9\), \(c = -1\).

### Шаг 8: Рассчет дискриминанта

Сначала найдем дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 81 + 60 = 141.
\]

### Шаг 9: Подстановка в формулу

Теперь подставим значения в формулу:
\[
x = \frac{-9 \pm \sqrt{141}}{2 \cdot 15} = \frac{-9 \pm \sqrt{141}}{30}.
\]

### Шаг 10: Окончательный результат

Таким образом, мы получаем два возможных решения:
\[
x_1 = \frac{-9 + \sqrt{141}}{30}, \quad x_2 = \frac{-9 - \sqrt{141}}{30}.
\]

### Подсказка о числовых значениях

Если нам нужно получить числовые значения, то мы воспользуемся приближенным значением \(\sqrt{141} \approx 11.83\):
\[
x_1 \approx \frac{-9 + 11.83}{30} \approx \frac{2.83}{30} \approx 0.0943,
\]
\[
x_2 \approx \frac{-9 - 11.83}{30} \approx \frac{-20.83}{30} \approx -0.6943.
\]

Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[
x_1 \approx 0.0943, \quad x_2 \approx -0.6943.
\]

### Итоги

Решение показательных уравнений требует преобразования оснований и аккуратной работы с показателями. Каждое преобразование важно для корректного нахождения решения. В данном случае мы использовали принципы обращения к эквивалентным показателям и квадратным уравнениям.