Как решить уравнение (x+1)√(1+4x-x^2)=x^2-1?

Чтобы решить уравнение \((x+1)\sqrt{1+4x-x^2}=x^2-1\), следуйте следующему пошаговому алгоритму. 

### Шаг 1: Упростите выражение под корнем
Для начала упростим подкоренное выражение. Мы имеем:

\[
1 + 4x - x^2 = -(x^2 - 4x - 1)
\]

Таким образом:

\[
\sqrt{1 + 4x - x^2} = \sqrt{-(x^2 - 4x - 1)}
\]

Это может относиться к действительным числам только в том случае, если:

\[
x^2 - 4x - 1 \leq 0
\]

### Шаг 2: Найдите корни
Чтобы найти, при каких значениях \(x\) это неравенство выполняется, найдем корни квадратного уравнения:

\[
x^2 - 4x - 1 = 0
\]

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}
\]

Таким образом, корни:

\[
x_1 = 2 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 2 + \sqrt{5}
\]

### Шаг 3: Определим промежутки
Теперь проанализируем знак выражения \(x^2 - 4x - 1\) на промежутках:

- \( (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \)
- \( (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}) \)
- \( (2 + \sqrt{5}, +\infty) \)

Выражение меняет знак в корнях. Мы проверим знаки на тестовых точках:

- Для \(x < 2 - \sqrt{5}\) (например, \(x=0\)): \(0^2 - 4 \cdot 0 - 1 < 0\) - отрицательное.
- Для \(2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}\) (например, \(x=2\)): \(2^2 - 4 \cdot 2 - 1 < 0\) - отрицательное.
- Для \(x > 2 + \sqrt{5}\) (например, \(x=5\)): \(5^2 - 4 \cdot 5 - 1 > 0\) - положительное.

На основании этого, \(x^2 - 4x - 1 \leq 0\) на интервале \([2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]\).

### Шаг 4: Возвести в квадрат
Теперь можем возвести обе стороны в квадрат (учитывая положительность):

\[
(x+1)^2(1 + 4x - x^2) = (x^2 - 1)^2
\]

Раскроем каждую сторону:

\[
(x^2 + 2x + 1)(1 + 4x - x^2) = x^4 - 2x^2 + 1
\]

### Шаг 5: Раскройте скобки
Раскроем левую часть:

\[
(4x^3 + (2-1)x^2 + (4+2)x + 1) = x^4 - 2x^2 + 1
\]

### Шаг 6: Переносим все в одну сторону
Переместите все в одну сторону:

\[
3x^4 - 4x^3 + x^2 + (6x) = 0
\]

### Шаг 7: Найдите корни
Решим данное уравнение. Например, можно пробовать подбивать значения для нахождения корней данного уравнения.

### Шаг 8: Проверка корней
После нахождения корней проверьте их в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они не вызывают ошибок в выражении квадратного корня.

### Заключение
Каждый из этих шагов предлагает методичный подход к решению уравнения. Не забудьте обращать внимание на ограничение, возникающее из квадратного корня — чтобы не подставить значения, при которых подкоренное выражение будет отрицательным. Удачи в поисках корней!