Как решить: Найдите трехзначное натуральное число, большее 500?

Для поиска трехзначного натурального числа, которое соответствует заданным условиям, давайте разберемся с каждым из них по шагам.

### Шаг 1: Определение диапазона чисел
Трехзначные натуральные числа расположены в диапазоне от 100 до 999, но нам нужно найти число больше 500. Таким образом, нас интересуют числа от 501 до 999.

### Шаг 2: Условия деления
Число должно давать при делении на 4, 5 и 6 остаток 2. Это значит, что если обозначить наше число как \( N \), то:
- \( N \mod 4 = 2 \)
- \( N \mod 5 = 2 \)
- \( N \mod 6 = 2 \)

Для того чтобы число \( N \) соответствовало всем этим условиям, давайте преобразуем каждое из них:

- \( N = 4k + 2 \) для некоторого целого \( k \)
- \( N = 5m + 2 \) для некоторого целого \( m \)
- \( N = 6n + 2 \) для некоторого целого \( n \)

Из этих уравнений можно заметить, что \( N - 2 \) должно делиться на 4, 5 и 6. Так как 4, 5 и 6 имеют общее кратное, найдем его.

### Шаг 3: Нахождение наименьшего общего кратного
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 5, 6 равно 60. Это значит, что:
\[ N - 2 = 60k \]

Следовательно, мы можем записать:
\[ N = 60k + 2 \]

### Шаг 4: Нахождение подходящих \( k \)
Теперь необходимо подставить значения \( k \) и найти числа \( N \) в диапазоне от 501 до 999.

Для начала найдем минимальное значение \( k \):
\[
60k + 2 > 500 \Rightarrow 60k > 498 \Rightarrow k > 8.3
\]
Следовательно, минимальное целое значение для \( k \) равно 9.

Теперь подставляя различные целые значения \( k \) от 9 до максимально возможного:
- Для \( k = 9 \): 
\[ N = 60 * 9 + 2 = 542 \]
- Для \( k = 10 \): 
\[ N = 60 * 10 + 2 = 602 \]
- Для \( k = 11 \): 
\[ N = 60 * 11 + 2 = 662 \]
- Для \( k = 12 \): 
\[ N = 60 * 12 + 2 = 722 \]
- Для \( k = 13 \): 
\[ N = 60 * 13 + 2 = 782 \]
- Для \( k = 14 \): 
\[ N = 60 * 14 + 2 = 842 \]
- Для \( k = 15 \): 
\[ N = 60 * 15 + 2 = 902 \]
- Для \( k = 16 \): 
\[ N = 60 * 16 + 2 = 962 \]
- Для \( k = 17 \): 
\[ N = 60 * 17 + 2 = 1022 \] (перекрывает верхний предел)

### Шаг 5: Проверка наличия двух различных цифр
Теперь отобранные числа: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962.

Теперь проверим каждое из этих чисел на наличие только двух различных цифр:
- **542**: 5, 4, 2 — три различные цифры.
- **602**: 6, 0, 2 — три различные цифры.
- **662**: 6, 2 — две различные цифры.
- **722**: 7, 2 — две различные цифры.
- **782**: 7, 8, 2 — три различные цифры.
- **842**: 8, 4, 2 — три различные цифры.
- **902**: 9, 0, 2 — три различные цифры.
- **962**: 9, 6, 2 — три различные цифры.

Таким образом, подходят числа **662** и **722**.

### Ответ
Одно из подходящих чисел, удовлетворяющее всем условиям, это **662**.