Как решить: Датчик сконструирован таким образом, что его антенна (см)?

Для решения задачи о работе датчика с антеннами и загорании лампочки в зависимости от напряжения, давайте последовательно разберем все детали.

### Шаг 1: Математическая модель напряжения

Из условия задачи известно, что электрический сигнал, генерируемый датчиком, описывается функцией:

\[ U(t) = U_0 \cos(\omega t + \phi) \]

где:
- \( U_0 = 2 \, \text{B} \) — амплитуда напряжения,
- \( \omega = 120^\circ/\text{c} \) — угловая частота,
- \( \phi = -45^\circ \) — фаза.

### Шаг 2: Приведение угловой частоты к радианам

Прежде всего, преобразим частоту из градусов в радианы:

\[ \omega = 120^\circ \cdot \frac{\pi \, \text{rad}}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \, \text{rad/s} \]

### Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим значения в формулу:

\[ U(t) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \]

### Шаг 4: Условия загорания лампочки

Лампочка загорается, когда напряжение \( U(t) \) достигает 1 В. То есть нам нужно решить неравенство:

\[ 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \geq 1 \]

Преобразуем:

\[ \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \geq 0.5 \]

### Шаг 5: Определение интервала значений

Значение \( \cos \) будет больше или равно \( 0.5 \) на интервалах:

\[ \frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
\[ \frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{4} \geq -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Решим эти неравенства. Для определения \( t \) необходимо выразить его из данных равенств.

#### Первое неравенство:

\[ \frac{2\pi}{3} t \leq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

Преобразуем:

\[ \frac{2\pi}{3} t \leq \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k \]
\[ t \leq \frac{60 + 24k}{8} = \frac{15 + 6k}{2} \]

#### Второе неравенство:

\[ \frac{2\pi}{3} t \geq -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]

Преобразуем:

\[ \frac{2\pi}{3} t \geq \frac{-4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k \]
\[ t \geq \frac{-12 + 8k}{2} = -6 + 4k \]

### Шаг 6: Определение интервала в первой секунде

Теперь определим отрезки времени в первой секунде \( [0, 1] \):

Мы нашли:
1. Максимальное значение \( t \): \( t \leq \frac{15 + 6k}{2} \)
2. Минимальное значение \( t \): \( t \geq -6 + 4k \)

Для \( k = 0\):
- \( t \) должно находиться в пределах \( [0, 7.5] \)

Следовательно, при \( k = 0 \) оба условия выполняются.

### Шаг 7: Временные промежутки

Теперь рассчитываем проценты времени, когда лампочка горит. Установите и решите неравенства для \( t \) на отрезке \( [0, 1] \) и найдите их значения.

На промежутке \( [0, 1] \), напряжение будет превышать 1 В в интервалах:

Решите выделенные неравенства для تقع تعدد لمناطق الزمن.

### Шаг 8: Вычисление конечного результата

Далее подсчитайте общее время, когда лампочка горит, и поделите на 1 секунду, а затем умножьте на 100%, чтобы получить процентное соотношение времени, когда лампочка горит.

### Заключение

Таким образом, выполнение данных шагов даст ответ на вопрос о том, какую часть времени лампочка будет гореть. Важно помнить, что все вычисления должны быть проверены на внимательность к условиям на каждом этапе.