Как доказать, что уравнение (x^2+8x+17)(x^2-6x+15)=3 не имеет корней?

Чтобы доказать, что уравнение \((x^2 + 8x + 17)(x^2 - 6x + 15) = 3\) не имеет корней, будем следовать логическому анализу и математической аргументации. Приведем данный процесс по пунктам.

1. Анализ композиций

# 1.1. Определение функций
Рассмотрим функции:
\[
f(x) = x^2 + 8x + 17
\]
\[
g(x) = x^2 - 6x + 15
\]
Мы выразили уравнение, как произведение двух функций \(f(x)\) и \(g(x)\):
\[
f(x) \cdot g(x) = 3
\]

2. Исследование функции \(f(x)\)

# 2.1. Дискриминант
Для анализа функции \(f(x)\), найдем её дискриминант:
\[
D_f = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4
\]
Поскольку дискриминант отрицательный, функция \(f(x)\) не имеет действительных корней и, следовательно, представляет собой параболу, которая открыта вверх и не пересекает ось абсцисс.

# 2.2. Минимальное значение
Так как парабола не имеет действительных корней, минимальное значение функции будет достигнуто при:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2} = -4
\]
Подставим \(x = -4\):
\[
f(-4) = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1
\]
Следовательно, \(f(x) \geq 1\) для всех \(x\).

3. Анализ функции \(g(x)\)

# 3.1. Дискриминант
Аналогично исследуем функцию \(g(x)\):
\[
D_g = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24
\]
Так как здесь также наблюдаем отрицательный дискриминант, это подтверждает, что \(g(x)\) не имеет действительных корней и также является параболой, открытой вверх.

# 3.2. Минимальное значение
Минимум функции \(g(x)\) достигается при:
\[
x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
\]
Подставляем:
\[
g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6
\]
Поскольку \(g(x) \geq 6\) для всех \(x\).

4. Анализ произведения функций

Теперь, рассмотрим произведение \(f(x) \cdot g(x)\):
\[
f(x) \cdot g(x) \geq 1 \cdot 6 = 6
\]

5. Сравнение с правой частью уравнения

Мы знаем, что \(f(x) \cdot g(x) \geq 6\), а уравнение, которое мы изучаем, состоит в том, что:
\[
f(x) \cdot g(x) = 3
\]
Так как \(6 > 3\), это означает, что произведение двух положительных функций не может равняться 3. 

6. Заключение

Таким образом, из проведенного анализа мы можем заключить, что уравнение \((x^2 + 8x + 17)(x^2 - 6x + 15) = 3\) не имеет корней. Это окончательное утверждение подтверждается исследованиями функций и их поведением, что указывает на отсутствие решений в действительных числах.