Как не решая уравнение 2x^2-3x-11=0, найти x_2/(1+x_1)+x_1/(1+x_2)?

Рассмотрим уравнение \(2x^2 - 3x - 11 = 0\) и корни этого уравнения, обозначенные как \(x_1\) и \(x_2\). Мы не будем находить сами корни, но сфокусируемся на выражении \( \frac{x_2}{1+x_1} + \frac{x_1}{1+x_2} \).

Шаг 1: Сведения о корнях
Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней и произведение корней могут быть выражены как:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.
\]
В нашем случае:
- \(a = 2\),
- \(b = -3\),
- \(c = -11\).

Следовательно, мы можем вычислить:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2},
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{-11}{2}.
\]

Шаг 2: Переписывание выражения
Нам необходимо преобразовать выражение:
\[
\frac{x_2}{1+x_1} + \frac{x_1}{1+x_2}.
\]
Для удобства объединяем эти дроби:
\[
\frac{x_2 (1+x_2) + x_1 (1+x_1)}{(1+x_1)(1+x_2)}.
\]
После раскрытия скобок получаем:
\[
\frac{x_2 + x_2 x_1 + x_1 + x_1 x_2}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{x_1 + x_2 + (x_1 x_2 + x_1 + x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}.
\]
В результате:
\[
\frac{x_1 + x_2 + x_1 x_2 + x_1 + x_2}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{(x_1 + x_2) + x_1 x_2 + (x_1 + x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}.
\]

Шаг 3: Подставляем известные значения
Теперь можем использовать известные значения суммы и произведения корней:
\[
\frac{(x_1 + x_2) + x_1 x_2 + (x_1 + x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{2(x_1 + x_2) + x_1 x_2}{(1+x_1)(1+x_2)}.
\]
Подставляем найденные ранее значения:
\[
= \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{-11}{2}}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{3 - \frac{11}{2}}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{\frac{6}{2} - \frac{11}{2}}{(1+x_1)(1+x_2)} = \frac{-\frac{5}{2}}{(1+x_1)(1+x_2)}.
\]

Шаг 4: Выражение знаменателя
Теперь вычислим знаменатель \( (1+x_1)(1+x_2) \):
\[
(1+x_1)(1+x_2) = 1 + (x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 1 + \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = 1 + \frac{3 - 11}{2} = 1 - \frac{8}{2} = 1 - 4 = -3.
\]
Подставляем в итоговое выражение:
\[
\frac{-\frac{5}{2}}{-3} = \frac{5}{6}.
\]

Итог
Мы пришли к результату:
\[
\frac{x_2}{1+x_1} + \frac{x_1}{1+x_2} = \frac{5}{6}.
\] 

Таким образом, произведя анализ, мы получили необходимый результат без непосредственного решения уравнения.