Как доказать, что 2x^2+x+a принимает только положительные значения (см)?

Чтобы доказать, что квадратный трехчлен \( f(x) = 2x^2 + x + a \) принимает только положительные значения при определенных условиях на параметр \( a \), важно проанализировать свойства квадратных функций. Мы будем разбираться по шагам.

### Шаг 1: Определение вида функции
Функция \( f(x) = 2x^2 + x + a \) является параболой, открывающейся вверх, поскольку коэффициент при \( x^2 \) (то есть \( 2 \)) положителен. Это значит, что у функции есть минимум (вершина параболы), и мы проанализируем, при каких условиях этот минимум будет положительным.

### Шаг 2: Находим вершину параболы
Координаты вершины графика параболы, заданного уравнением \( ax^2 + bx + c \), вычисляются по формуле:
\[
x_{в} = -\frac{b}{2a}.
\]
Для нашего случая:
- \( a = 2 \)
- \( b = 1 \)

Следовательно:
\[
x_{в} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}.
\]

### Шаг 3: Подставляем значение вершины
Теперь подставляем \( x_{в} \) в уравнение функции, чтобы найти минимальное значение:
\[
f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + a.
\]
Вычисляем:
\[
f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + a = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + a = a - \frac{1}{8}.
\]

### Шаг 4: Условие на положительность
Теперь нужно, чтобы \( f\left(-\frac{1}{4}\right) > 0 \):
\[
a - \frac{1}{8} > 0.
\]
Это неравенство влечет:
\[
a > \frac{1}{8}.
\]

### Шаг 5: Проверка на наличие корней
Кроме того, для того чтобы функция \( f(x) \) не пересекала ось \( x \) (не имела действительных корней), ее дискриминант должен быть меньше нуля:
\[
D = b^2 - 4ac,
\]
где:
- \( a = 2 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = a \)

Подставим значения:
\[
D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 1 - 8a.
\]
Чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо:
\[
1 - 8a < 0.
\]
Это неравенство приводит к:
\[
8a > 1 \quad \Rightarrow \quad a > \frac{1}{8}.
\]

### Заключение
Таким образом, при \( a > \frac{1}{8} \) функция \( f(x) = 2x^2 + x + a \) принимает только положительные значения. Мы выделили полный квадрат, нашли минимум функции и проверили условия на отсутствие действительных корней.

#### Итак, окончательное условие:
Функция \( 2x^2 + x + a \) принимает только положительные значения, если:
\[
a > \frac{1}{8}.
\]

Эти рассуждения обеспечивают строгий математический подход к решению поставленной задачи, и вывод основан на критических точках функции и ее дискриминанте.