Как решить уравнение (x^2-7x+13)^2-(x-3)(x-4)=1?

Решение уравнения \((x^2-7x+13)^2-(x-3)(x-4)=1\) можно разбить на несколько последовательных шагов. Рассмотрим их подробнее.

### Шаг 1: Упростим правую часть уравнения
Сначала упростим выражение \((x-3)(x-4)\):
\[
(x-3)(x-4) = x^2 - 7x + 12.
\]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[
(x^2 - 7x + 13)^2 - (x^2 - 7x + 12) = 1.
\]

### Шаг 2: Переносим все в одну сторону
Теперь перепишем уравнение так, чтобы все элементы были с одной стороны:
\[
(x^2 - 7x + 13)^2 - (x^2 - 7x + 12) - 1 = 0.
\]
Упростим его:
\[
(x^2 - 7x + 13)^2 - (x^2 - 7x + 13) = 0.
\]

Так как \( y = x^2 - 7x + 13 \), можем заменить его в уравнении:
\[
y^2 - y = 0.
\]

### Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Решаем уравнение:
\[
y(y - 1) = 0.
\]
Это уравнение дает два решения:
1. \( y = 0 \)
2. \( y = 1 \)

### Шаг 4: Подставим обратно выражение для \( y \)
Теперь вернемся к исходному выражению \( y = x^2 - 7x + 13 \) и подставим каждое значение \( y \).

#### Подсчеты для \( y = 0 \):
\[
x^2 - 7x + 13 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3.
\]
Поскольку дискриминант отрицательный, \( y = 0 \) не дает действительных решений.

#### Подсчеты для \( y = 1 \):
\[
x^2 - 7x + 13 = 1.
\]
Упрощаем уравнение:
\[
x^2 - 7x + 12 = 0.
\]
Теперь найдем его дискриминант:
\[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.
\]
Таким образом, дискриминант положительный, и мы можем найти корни:
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}.
\]
Решения:
1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{6}{2} = 3 \)

### Шаг 5: Проверка найденных решений
Мы нашли два решения: \( x = 3 \) и \( x = 4 \). Проверим их в исходном уравнении:

1. Для \( x = 3 \):
\[
(3^2 - 7 \cdot 3 + 13)^2 - (3 - 3)(3 - 4) = (9 - 21 + 13)^2 - 0 = 1.
\]
2. Для \( x = 4 \):
\[
(4^2 - 7 \cdot 4 + 13)^2 - (4 - 3)(4 - 4) = (16 - 28 + 13)^2 - 0 = 1.
\]

### Заключение
Оба найденных значения \( x = 3 \) и \( x = 4 \) проверку проходят. Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[
\boxed{3 \; \text{и} \; 4}.
\]