Как решить уравнение x^2+7x+4=|3x+2|?

Чтобы решить уравнение \( x^2 + 7x + 4 = |3x + 2| \), необходимо учитывать, что модуль определяет два случая в зависимости от значения выражения внутри него. Давайте разберем шаги, чтобы все было понятно.

### Шаг 1: Определение случаев
Модуль \( |3x + 2| \) равен:

1. \( 3x + 2 \), если \( 3x + 2 \geq 0 \) (или \( x \geq -\frac{2}{3} \)),
2. \( -(3x + 2) \), если \( 3x + 2 < 0 \) (или \( x < -\frac{2}{3} \)).

На этом этапе нужно рассмотреть два подуравнения.

### Шаг 2: Первый случай \( (x \geq -\frac{2}{3}) \)
В этом случае мы можем убрать модуль:

\[
x^2 + 7x + 4 = 3x + 2.
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 + 7x + 4 - 3x - 2 = 0.
\]

Упрощаем уравнение:

\[
x^2 + 4x + 2 = 0.
\]

Теперь решим его с помощью дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8.
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}.
\]

Получаем два корня:

1. \( x_1 = -2 + \sqrt{2} \)
2. \( x_2 = -2 - \sqrt{2} \)

Проверяем, подходят ли они под условие \( x \geq -\frac{2}{3} \):

- Для \( x_1 = -2 + \sqrt{2} \approx -0.586 \) (что меньше -0.666), следовательно, **это значение отвергаем**.
- Для \( x_2 = -2 - \sqrt{2} \) (это будет еще меньше), **тоже отвергаем**.

Таким образом, в первом случае корней нет.

### Шаг 3: Второй случай \( (x < -\frac{2}{3}) \)
Теперь модуль меняется на отрицательное значение:

\[
x^2 + 7x + 4 = -(3x + 2).
\]

Снова переносим все на одну сторону:

\[
x^2 + 7x + 4 + 3x + 2 = 0.
\]

Упрощаем:

\[
x^2 + 10x + 6 = 0.
\]

Находим дискриминант:

\[
D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 100 - 24 = 76.
\]

Корни уравнения:

\[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{76}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -5 \pm \sqrt{19}.
\]

Проверяем, подходят ли они под условие \( x < -\frac{2}{3} \):

1. \( x_1 = -5 + \sqrt{19} \approx -0.358 \) (отрицательное, но больше -0.666) **отвергаем.**
2. \( x_2 = -5 - \sqrt{19} \) (это значение явно меньше -0.666) **принимаем.**

### Шаг 4: Подсчет точного значения
Корень \( x = -5 - \sqrt{19} \) — это единственный корень, который удовлетворяет данному уравнению.

### Шаг 5: Проверка
Подставим найденное значение обратно в изначальное уравнение, чтобы убедиться, что оно верное. Таким образом, решение уравнения \( x^2 + 7x + 4 = |3x + 2| \) будет равно:

\[
x = -5 - \sqrt{19}.
\]