Как найти косинус острого угла, если его синус - 12 /13 найти его тангенса?

Чтобы найти косинус острого угла, если его синус равен \(\frac{12}{13}\), и, следовательно, его тангенс, можно использовать тригонометрические тождества и базовые свойства треугольников. Давайте пройдемся по этому процессу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание синуса
Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае, если синус угла равен \(\frac{12}{13}\), мы можем записать:

- Противолежащая сторона = 12
- Гипотенуза = 13

Зная эти значения, мы можем найти прилежащую сторону с помощью теоремы Пифагора.

Шаг 2: Применение теоремы Пифагора
Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

где \(c\) — длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) — длины катетов. Подставляя известные значения:

\[
13^2 = 12^2 + b^2
\]

Это упростится до:

\[
169 = 144 + b^2
\]

Решая это уравнение, мы найдем значение \(b\):

\[
b^2 = 169 - 144 = 25
\]
\[
b = \sqrt{25} = 5
\]

Таким образом, длина прилежащей стороны равна 5.

Шаг 3: Нахождение косинуса
Теперь, когда у нас есть значения всех сторон, мы можем найти косинус угла. Косинус определяется как отношение прилежащей стороны к гипотенузе:

\[
\cos(\theta) = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{5}{13}
\]

Шаг 4: Нахождение тангенса
Сейчас, когда у нас есть как синус, так и косинус, мы можем легко найти тангенс. Тангенс угла — это отношение синуса к косинусу:

\[
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\tan(\theta) = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}
\]

Таким образом, тангенс этого острого угла равен \(\frac{12}{5}\).

Шаг 5: Общая проверка
Важно помнить, что синус и косинус выражают отношение сторон в прямоугольном треугольнике, поэтому их значения всегда будут соответствовать условиям тригонометрии. В данном случае мы возводили в квадрат и использовали теорему Пифагора, следовательно, наши вычисления проверены.

Заключение
Теперь мы узнали, что:
- Косинус угла равен \(\frac{5}{13}\),
- Тангенс угла равен \(\frac{12}{5}\).

Одной из важных сторон изучения тригонометрии является возможность визуализации этих отношений, что помогает лучше понимать свойства углов и треугольников. Удачи вам в дальнейших изучениях тригонометрии!