Как решить: Ваня доходит от дома до школы за 30 минут?

Чтобы решить задачу о том, через сколько минут Ваня догонит Лену, давайте разберем её по шагам, исходя из данных условий.

### Шаг 1: Установим скорость Вани и Лены

1. **Скорость Вани**:
   - Из условия, Ваня доходит до школы за 30 минут. Предположим, что расстояние от дома до школы равно \(S\) километрам.
   - Скорость Вани = \(S/30\) км/мин.

2. **Скорость Лены**:
   - Лена добирается до школы за 40 минут.
   - Скорость Лены = \(S/40\) км/мин.

### Шаг 2: Найдем разницу в скоростях

Теперь, чтобы определить, как быстро Ваня догоняет Лену, нужно вычислить разницу в их скоростях:

\[
v_{Вани} = \frac{S}{30}, \quad v_{Лены} = \frac{S}{40}
\]

Разница в скоростях:

\[
v_{разница} = v_{Вани} - v_{Лены} = \frac{S}{30} - \frac{S}{40}
\]

Чтобы вычислить это значение, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 30 и 40 – это 120:

\[
v_{разница} = \frac{4S}{120} - \frac{3S}{120} = \frac{S}{120} \text{ км/мин}
\]

### Шаг 3: Определим время, которое Лена успеет пройти, пока Ваня не выйдет

Лена начинает идти на 5 минут раньше Вани. За это время она успеет пройти:

\[
d_{Лены} = v_{Лены} \cdot 5 = \left(\frac{S}{40}\right) \cdot 5 = \frac{5S}{40} = \frac{S}{8} \text{ км}
\]

### Шаг 4: Рассчитаем время, за которое Ваня догонит Лену

Теперь нам нужно выяснить, сколько времени потребуется Ване, чтобы преодолеть это расстояние. Лена находится на расстоянии \(d_{Лены} = \frac{S}{8}\) км от Вани, когда Ваня начинает свой путь. Ваня будет двигаться со скоростью, которая превышает скорость Лены на \(v_{разница} = \frac{S}{120}\) км/мин. 

Для того чтобы отрезок в \(d_{Лены}\) был преодолён, потребуется:

\[
t = \frac{d_{Лены}}{v_{разница}} = \frac{\frac{S}{8}}{\frac{S}{120}} = \frac{120}{8} = 15 \text{ минут}
\]

### Ответ

Таким образом, Ваня догонит Лену через **15 минут** после того, как выйдет из дома.

### Дополнительно: Анализ ситуации

- **Скоростной аспект**: Важно отметить, что несмотря на то, что Лена ушла раньше, скорость Вани позволяет ему догнать её достаточно быстро благодаря разнице во времени и скоростям.
- **Реальная жизнь**: Ваня мог бы использовать разнообразные способы передвижения или даже уложиться в меньшее время, если заодно учесть маневры и возможные пути.
- **Уроки математики**: Эта задача является хорошим примером применения математических понятий о скорости, расстоянии и времени, и может быть использована для практического объяснения в классе, чтобы показать, как важно не только знать формулы, но и уметь их применять.

Таким образом, усваивая такой материал, вероятно, вам станет гораздо проще решать более сложные задачи в будущем.