Как решить: В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей?

Для решения задачи о вероятности того, что два друга Михаил и Андрей окажутся в разных группах, мы можем воспользоваться комбинаторным методом. Давайте подробно разберем шаги, которые нам нужно предпринять:

### Шаг 1: Определение общего количества способов разбивки
1. У нас есть 9 учащихся, которых нужно разбить на 3 равные группы по 3 человека в каждой.
2. Сначала мы вычислим общее количество способов разбить 9 учащихся на 3 группы. Формула для подсчета количества разбиений n объектов на k групп равного размера имеет вид:

   \[
   \frac{n!}{(k!)^r \cdot (r!)}
   \]

   где n — общее количество объектов (учащихся), k — количество групп, r — число объектов в каждой группе (в данном случае это 3).

   В нашем случае:
   - n = 9
   - k = 3
   - r = 3

   Подставив в формулу, получаем:

   \[
   \text{Общее количество разбиений} = \frac{9!}{(3!)^3 \cdot 3!}
   \]

   Вычислим это число:
   - \( 9! = 362880 \)
   - \( (3!)^3 = 6^3 = 216 \)
   - \( 3! = 6 \)

   Так что:

   \[
   \text{Общее количество разбиений} = \frac{362880}{216 \cdot 6} = \frac{362880}{1296} = 280
   \]

### Шаг 2: Подсчет случаев, когда Михаил и Андрей в одной группе
1. Рассмотрим случаи, когда Михаил и Андрей находятся в одной группе. Если они уже в одной из групп, нам нужно разложить оставшихся 7 учащихся по оставшимся 2 группам.
2. Теперь у нас 7 оставшихся учащихся, и мы должны разбить их на 2 группы, каждую из которых должно составлять по 3 человека.

   Используя ту же формулу:

   \[
   \text{Количество разбиений} = \frac{7!}{(3!)^2 \cdot 2!}
   \]

   Расчитаем:
   - \( 7! = 5040 \)
   - \( (3!)^2 = 36 \)
   - \( 2! = 2 \)

   Таким образом:

   \[
   \text{Количество разбиений с Михаилом и Андреем в одной группе} = \frac{5040}{36 \cdot 2} = \frac{5040}{72} = 70
   \]

### Шаг 3: Подсчет вероятности
Теперь мы можем найти вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в разных группах. Для этого нам нужно вычесть количество благоприятных случаев, когда они в одной группе, из общего количества разбиений:

\[
\text{Количество случаев, когда Михаил и Андрей в разных группах} = \text{Общее количество разбиений} - \text{Количество разбиений с Михаилом и Андреем в одной группе}
\]

Таким образом:

\[
\text{Количество случаев в разных группах} = 280 - 70 = 210
\]

Теперь мы можем рассчитать вероятность:

\[
P(\text{разные группы}) = \frac{210}{280} = \frac{3}{4}
\]

### Шаг 4: Заключение
Вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в разных группах при случайном распределении 9 учащихся на 3 равные группы, составляет **\( \frac{3}{4} \)** или **75%**. 

Таким образом, данная задача показывает, как можно использовать комбинаторные методы для определения вероятностей в различных ситуациях, и подчеркивает важность точного определения условий задачи.