Как решить: Катер прошёл 22 км по течению реки и 5 км против (см)?

Чтобы решить задачу, давайте поделим процесс на несколько четких шагов. Мы будем использовать формулу для вычисления скорости, времени и расстояния:

\[ \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \]

Шаг 1: Определим переменные

1. Обозначим скорость катера как \( V \) (в км/ч).
2. Скорость течения реки \( V_t = 2 \) км/ч.
3. Расстояние, пройденное по течению реки, \( S_1 = 22 \) км.
4. Расстояние, пройденное против течения, \( S_2 = 5 \) км.
5. Общее время путешествия \( T = 4 \) часа.

Шаг 2: Найдем скорость катера по течению и против течения

- По течению реки скорость катера будет:
\[ V_1 = V + V_t = V + 2 \]

- Против течения реки скорость катера:
\[ V_2 = V - V_t = V - 2 \]

Шаг 3: Запишем уравнения для времени

Мы знаем, что время можно определить через расстояние и скорость:
- Время в пути по течению:
\[ T_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{22}{V + 2} \]

- Время в пути против течения:
\[ T_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{5}{V - 2} \]

Шаг 4: Составим уравнение для общего времени

Сумма времени по течению и против течения равна общему времени:
\[ T_1 + T_2 = T \]
Подставим ранее найденные выражения:
\[ \frac{22}{V + 2} + \frac{5}{V - 2} = 4 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Для решения уравнения умножим обе стороны на \( (V + 2)(V - 2) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 22(V - 2) + 5(V + 2) = 4(V + 2)(V - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 22V - 44 + 5V + 10 = 4(V^2 - 4) \]

Объединим подобные термины:

\[ 27V - 34 = 4V^2 - 16 \]

Переносим все в одну сторону, получаем:

\[ 4V^2 - 27V + 18 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Для решения уравнения \( 4V^2 - 27V + 18 = 0 \) используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 4 \), \( b = -27 \), \( c = 18 \).

Вычисляем дискриминант:

\[ D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 \]
\[ D = 729 - 288 \]
\[ D = 441 \]

Теперь находим корни:

\[ V = \frac{27 \pm \sqrt{441}}{8} \]
\[ V = \frac{27 \pm 21}{8} \]

Получаем два значения:

1. \( V_1 = \frac{48}{8} = 6 \)
2. \( V_2 = \frac{6}{8} = 0.75 \) (не подходит, так как собственная скорость должна быть больше скорости течения)

Шаг 7: Окончательный результат

Таким образом, собственная скорость катера составляет:

\[ V = 6 \text{ км/ч} \]

Этот процесс хорошо демонстрирует, как важно систематически подойти к задаче, анализировать данные, записывать уравнения и упрощать их до достижения конечного результата.