Как решить: Все плоские углы при вершине прав. треугольной пирамиды прямые?

Решение задачи о правильной треугольной пирамиде, в которой все плоские углы при вершине прямые, требует внимательного разбора и понимания геометрических свойств данной фигуры. Разберем задачу по шагам.

### Шаг 1: Понимание геометрии пирамиды

Правильная треугольная пирамида имеет основание в виде равностороннего треугольника. Если все плоские углы при вершине пирамиды прямые, это означает, что наклонные ребра пирамиды образуют прямые углы с плоскостью основания. Такое свойство характерно для пирамиды, высота которой перпендикулярна плоскости основания.

### Шаг 2: Определение свойств основания

Площадь основания пирамиды равна \( S_{осн} = 8\sqrt{3} \). Для равностороннего треугольника площадь можно выразить через сторону \( a \):

\[
S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
\]

Приравняв это к заданной площади, получаем уравнение:

\[
\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}
\]

### Шаг 3: Поиск стороны основания

Сократив оба выражения на \( \sqrt{3} \), мы получаем:

\[
\frac{a^2}{4} = 8
\]

Умножив обе стороны на 4, находим:

\[
a^2 = 32
\]

Следовательно, сторона треугольника равна:

\[
a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]

### Шаг 4: Определение высоты пирамиды

Так как все плоские углы при вершине пирамиды прямые, высота \( h \) будет равна радиусу окружности, описанной около основания треугольника. Радиус описанной окружности \( R \) равен:

\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}
\]

### Шаг 5: Расчет боковой поверхности

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равнобедренных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника нужно знать высоту от вершины пирамиды до середины основания. Эта высота составляет разность между высотой пирамиды \( h \) и половиной высоты равностороннего треугольника.

Находим высоту \( H \) равностороннего треугольника:

\[
H = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{2}
\]

Площадь одного бокового треугольника можно найти из \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{бок} \), где \( h_{бок} \) – это высота, равная \( h \).

Теперь вычисляем площадь боковой поверхности:

\[
S_{бок} = 3 \cdot S_{треуг} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{3}{2} \cdot a \cdot h
\]

Подставляя известные значения \( a = 4\sqrt{2} \) и \( h = \frac{4\sqrt{6}}{3} \):

\[
S_{бок} = \frac{3}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{16\sqrt{12}}{2} = 8\cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}
\]

### Ответ

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна \( 16\sqrt{3} \). Это решение четко демонстрирует, как геометрические свойства и простые математические преобразования позволяют нам находить площадь боковой поверхности пирамиды.