Мехмат МГУ. Сколько рёбер в полном графе с 10 вершинами?

Полный граф — это граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ребром. Обозначим полный граф с \( n \) вершинами как \( K_n \). В случае полного графа с 10 вершинами нам интересно узнать, сколько рёбер содержится в графе \( K_{10} \). Давайте разберемся по пунктам.

### Поставленная задача

1. **Определение полного графа**: Полный граф — это граф, в котором каждый узел соединён с каждым другим узлом. По сути, у нас есть максимально возможное количество рёбер между вершинами.

2. **Обозначение и формула**: Для подсчета количества рёбер в полном графе с \( n \) вершинами используется формула:
   
   \[
   E = \frac{n(n-1)}{2}
   \]
   
   где \( E \) — количество рёбер, \( n \) — количество вершин в графе. Формула выводится из того, что каждая пара вершин может соединяться ровно одним ребром.

### Применение формулы

3. **Подстановка значений**: В нашем случае \( n = 10 \). Подставим это значение в формулу:

   \[
   E = \frac{10(10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45
   \]

   Таким образом, в полном графе \( K_{10} \) содержится 45 рёбер.

### Понимание результата

4. **Смысл рёбер**: Каждое ребро в графе соответствует единственной паре вершин, которые соединены между собой. Следовательно, 45 рёбер означают, что каждая из 10 вершин соединена со всеми другими, что обеспечивает максимальную связанность графа.

5. **Графическая интерпретация**: Если нарисовать граф \( K_{10} \), можно увидеть, что каждая вершина будет соединена с 9 другими вершинами, и это создаст широко разветвлённую структуру.

### Связанные аспекты

6. **Комбинаторика**: Можно рассмотреть данную задачу через призму комбинаторики. Количество рёбер в полном графе также можно рассматривать как количество способов выбрать 2 вершины из 10, что математически обозначается как \( C(n, 2) \) или \( \binom{n}{2} \). В нашем случае это будет:

   \[
   \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45
   \]

7. **Применения полного графа**: Полные графы используются в различных областях, таких как изучение сетевых соединений, оптимизация, алгоритмы, теория графов и т.д. Они создают основу для анализа более сложных графов, так как полный граф — это наилучший случай для изучения различных теорий.

### Заключение

В завершение, мы увидели, что полный граф с 10 вершинами содержит 45 рёбер, что делает его одним из наиболее насыщенных и интересных простых графов с точки зрения теории графов и комбинаторики. Эта простая, но визуально понятная структура служит моделью для множества реальных систем и задач.