Как решить задачу наглядно с примерами про 1 копейку и математика?

Итак, давайте разберем эту увлекательную историю с парой на 1 копейку и посмотрим, кто же в итоге выйдет победителем: богатый человек или бедный математик.

### Условия пари

1. **Вклад математика:** Каждый день математик приносит богачу 100 000 рублей. За 31 день января это будет:
   \[
   31 \times 100\,000 = 3\,100\,000 \text{ рублей.}
   \]

2. **Вклад богача:** Богач отдает математику деньги по нарастающей схеме: в первый день он дает 1 копейку, во второй – 2 копейки, в третий – 4 копейки и так далее, удваивая сумму каждый день.

### Подсчет вклада богача

Теперь разберем, сколько же денег получит математик за весь месяц, учитывая, что каждый день он удваивает сумму:

- **1-й день:** 0,01 рубля
- **2-й день:** 0,02 рубля (1 копейка × 2)
- **3-й день:** 0,04 рубля
- **4-й день:** 0,08 рубля
- **5-й день:** 0,16 рубля
- **6-й день:** 0,32 рубля
- **7-й день:** 0,64 рубля
- **8-й день:** 1,28 рубля
- **9-й день:** 2,56 рубля
- **10-й день:** 5,12 рубля
- **11-й день:** 10,24 рубля
- **12-й день:** 20,48 рубля
- **13-й день:** 40,96 рубля
- **14-й день:** 81,92 рубля
- **15-й день:** 163,84 рубля
- **16-й день:** 327,68 рубля
- **17-й день:** 655,36 рубля
- **18-й день:** 1310,72 рубля
- **19-й день:** 2621,44 рубля
- **20-й день:** 5242,88 рубля
- **21-й день:** 10485,76 рубля
- **22-й день:** 20971,52 рубля
- **23-й день:** 41943,04 рубля
- **24-й день:** 83886,08 рубля
- **25-й день:** 167772,16 рубля
- **26-й день:** 335544,32 рубля
- **27-й день:** 671088,64 рубля
- **28-й день:** 1342177,28 рубля
- **29-й день:** 2684354,56 рубля
- **30-й день:** 5368709,12 рубля
- **31-й день:** 10737418,24 рубля

Теперь давайте посчитаем общую сумму, которую получит богач в конце месяца. Он отдаёт математику, удваивая каждую предыдущую сумму. Это представляет собой геометрическую прогрессию.

### Сумма геометрической прогрессии

Общая сумма \( S_n \) для первого \( n \) членов прогрессии с первым членом \( a \) и знаменателем \( r \) выглядит так:

\[
S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}
\]

В нашем случае:
- \( a = 0,01 \) (первый день: 1 копейка)
- \( r = 2 \) (каждый день в 2 раза больше)
- \( n = 31 \) (число дней)

Подставляем значения:

\[
S_{31} = 0,01 \frac{(2^{31} - 1)}{1} = 0,01 \times (2147483648 - 1) \approx 0,01 \times 2147483647 = 21474836,47 \text{ рублей.}
\]

### Подведение итогов

Теперь подытожим наши результаты:

- **Доход богача:** 3 100 000 рублей.
- **Доход математика:** около 21 474 836,47 рублей.

### Итог

Как видно, богач может смеяться на первом этапе, но в конце концов, он оказывается в проигрыше. Сумма, которую получил математик (более 21 миллиона рублей), значительно превышает то, что получит богач (3.1 миллиона). Это прекрасный пример того, как быстро растет сумма в процессе удвоения, что иллюстрирует мощь сложных математических концепций, таких как экспоненциальный рост.

Этот пример не только показывает, как можно применять математику в реальных ситуациях, но также подчеркивает важность вдумчивого подхода к любым ставкам и финансовым решениям. В мире финансов, как и в жизни, иногда лучше подумать дважды, прежде чем принимать рискованные решения!