Квадратное уравнение f(x)=0 имеет ровно один действительный корень t .

Давайте разберем данную задачу волшебным образом и последовательно, следуя логике квадратных уравнений.

1. **Определение первого уравнения**: Поскольку уравнение \( f(x) = 0 \) имеет ровно один действительный корень \( t \), это указывает на то, что дискриминант \( D \) данного квадратного уравнения равен нулю. В общем виде квадратное уравнение можно записать как:

   \[
   ax^2 + bx + c = 0
   \]

   Для этого уравнения дискриминант будет вычисляться по формуле:

   \[
   D = b^2 - 4ac
   \]

   Чтобы уравнение имело ровно один действительный корень, должно выполняться условие \( D = 0 \), то есть:

   \[
   b^2 - 4ac = 0.
   \]

2. **Нахождение корня**: Если \( D = 0 \), корень выражается как:

   \[
   t = -\frac{b}{2a}.
   \]

3. **Анализ второго уравнения**: Далее у нас есть второе уравнение: 

   \[
   f(5x + 1) + f(6x - 1) = 0.
   \]

   Мы подставим \( f(x) \) в это уравнение. Заметим, что каждая из функций \( f(5x + 1) \) и \( f(6x - 1) \) также будет квадратным уравнением. 

4. **Характеристика его корней**: Чтобы уравнение \( f(5x + 1) + f(6x - 1) = 0 \) имело ровно один действительный корень, его также необходимо, чтобы дискриминант так же равен нулю. Это может произойти только в случае, если \( f(5x + 1) \) и \( f(6x - 1) \) имеют одно и то же значение в одной и той же точке.

5. **Сравнение и эквивалентность**: Таким образом, если у нас есть \( f(5x + 1) = f(6x - 1) \), это означает, что \( 5x + 1 = 6x - 1 \) либо \( 5x + 1 = - (6x - 1) \). 

   Решив первое уравнение, получаем \( x = 2 \). 
   
   В целом, для второго уравнения, получим:

   \[
   5x + 1 + 6x - 1 = 0.
   \]
   
   При решении мы приходим к \( 11x = 0 \), что также подтверждает, что \( x \) имеет уникальное значение, что означает, что оно одно и то же.

6. **Производные и увеличение**: Без потери общности, принимая во внимание производные функции и поведение графиков \( f(5x + 1) \) и \( f(6x - 1) \), мы можем сказать, что корень \( t \) может изменяться в зависимости от значений коэффициентов \( a, b, c \).

7. **Заключение**: В конечном итоге, \( t \) может принимать значения в зависимости от коэффициентов при условии, что они уравновешенные для выполнения условий предыдущих условий. Исходя из вышесказанного, все возможные значения \( t \) могут принимать любые значения, определенные из \( -\frac{b}{2a} \), но при выполнении специфических условий на коэффициенты, которые обеспечивают равенство дискриминантов. 

Таким образом, подводя итог, мы убедились, что для данного уравнения существуют бесконечно много возможностей для значений \( t \) при соблюдении условий дискриминантов обоих уравнений.