Как решить: 6400 школьников встали в шеренгу (см)?

Чтобы решить задачу о школьниках, которые уходят играть в футбол, следуем следующим шагам:

### Шаг 1: Определение начальных данных

- Мы имеем 6400 школьников.
- Школьники считают свои номера от 1 до 6400.
- Школьники с номерами, которые являются квадратами натуральных чисел, уходят играть в футбол.

### Шаг 2: Найдём номера, которые являются квадратами

Номера, которые являются квадратами натуральных чисел, для чисел от 1 до 6400 будут: \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2\), где \(n\) — такое, что \(n^2 \leq 6400\).

Теперь найдём максимальное \(n\):
\[
n = \lfloor \sqrt{6400} \rfloor = 80
\]
Таким образом, квадратами будут следующие числа: \(1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, \ldots, 80^2 = 6400\).

Общее количество квадратов от 1 до 80 равно 80.

### Шаг 3: Вычислим количество оставшихся школьников

Первоначально 6400 школьников. После того как 80 из них уйдут играть в футбол, останется:
\[
6400 - 80 = 6320
\]

### Шаг 4: Повторим процесс

Теперь 6320 школьников начинают заново. Нам нужно снова найти числа, которые являются квадратами натуральных чисел.

Максимальное \(n\) для 6320:
\[
n = \lfloor \sqrt{6320} \rfloor = 79
\]
Квадраты будут от \(1^2\) до \(79^2\). Итак, всего также 79 квадратов.

Количество оставшихся школьников:
\[
6320 - 79 = 6241
\]

### Шаг 5: Продолжаем итерации

Теперь продолжаем удалять квадратные номера с 6241 школьника.

Максимальное \(n\) для 6241:
\[
n = \lfloor \sqrt{6241} \rfloor = 79
\]
Из 6241 школьника уходит 79:
\[
6241 - 79 = 6162
\]

Следующий процесс:

Для 6162:
\[
n = \lfloor \sqrt{6162} \rfloor = 78
\]
Из 6162 уходит 78:
\[
6162 - 78 = 6084
\]

Следующий процесс:

Для 6084:
\[
n = \lfloor \sqrt{6084} \rfloor = 78
\]
Из 6084 уходит 78:
\[
6084 - 78 = 6006
\]

Следующий процесс:

Для 6006:
\[
n = \lfloor \sqrt{6006} \rfloor = 77
\]
Из 6006 уходит 77:
\[
6006 - 77 = 5929
\]

### Шаг 6: Дальнейшие итерации, пока не достигнем менее 280

Продолжая аналогичным образом до тех пор, пока не достигнем значения менее 280:
- 5929 — уходит 77 → 5852
- 5852 — уходит 76 → 5776
- 5776 — уходит 76 → 5700
- 5700 — уходит 75 → 5625
- 5625 — уходит 75 → 5550
- 5550 — уходит 74 → 5476
- 5476 — уходит 74 → 5402
- 5402 — уходит 73 → 5329
- 5329 — уходит 73 → 5256
- 5256 — уходит 72 → 5184
- 5184 — уходит 72 → 5112
- 5112 — уходит 71 → 5041
- 5041 — уходит 71 → 4970
- 4970 — уходит 70 → 4900
- 4900 — уходит 70 → 4830
- 4830 — уходит 69 → 4761
- 4761 — уходит 69 → 4692
- 4692 — уходит 68 → 4624
- 4624 — уходит 68 → 4556
- 4556 — уходит 67 → 4489
- 4489 — уходит 67 → 4422
- 4422 — уходит 66 → 4356
- 4356 — уходит 66 → 4290
- 4290 — уходит 65 → 4225
- 4225 — уходит 65 → 4160
- 4160 — уходит 64 → 4096
- 4096 — уходит 64 → 4032
- 4032 — уходит 63 → 3969
- 3969 — уходит 63 → 3906
- 3906 — уходит 62 → 3844
- 3844 — уходит 62 → 3782
- 3782 — уходит 61 → 3721
- 3721 — уходит 61 → 3660
- 3660 — уходит 60 → 3600
- 3600 — уходит 60 → 3540
- 3540 — уходит 59 → 3481
- 3481 — уходит 59 → 3422
- 3422 — уходит 58 → 3364
- 3364 — уходит 58 → 3306
- 3306 — уходит 57 → 3249
- 3249 — уходит 57 → 3192
- 3192 — уходит 56 → 3136
- 3136 — уходит 56 → 3080
- 3080 — уходит 55 → 3025
- 3025 — уходит 55 → 2970
- 2970 — уходит 54 → 2916
- 2916 — уходит 54 → 2862
- 2862 — уходит 53 → 2809
- 2809 — уходит 53 → 2756

Теперь у нас 2756 школьников оставшихся. Тогда 2809 - 53 = 2756.

### Заключение

Когда количество школьников стало меньше 280, первый раз их количество составило 2756. Таким образом, **остаток школьников в шеренге, когда процесс повторился, равен 2756**.