Как решить: В аудитории в 1 ряду 10 мест, во 2-м -11, в последнем 23?

Чтобы решить задачу о максимальном количестве школьников, которые могут разместиться в аудитории с описанными условиями, давайте рассмотрим её поэтапно.

### 1. Построение модели

В аудитории расположены ряды с количеством мест:

- 1-й ряд: 10 мест
- 2-й ряд: 11 мест
- 3-й ряд: 12 мест
- ...
- n-й ряд: до 23 мест

Давайте определим, сколько всего рядов в аудитории. Каждому ряду соответствует определённое количество мест, которое увеличивается на 1 по сравнению с предыдущим до 23 мест.

### 2. Определение количества рядов

Нам известно, что в последнем ряду 23 места. Начинаем с 10 и добавляем по одному месту в каждую последующую строку, пока не достигнем 23:

- 1-й ряд: 10 мест
- 2-й ряд: 11 мест
- 3-й ряд: 12 мест
- 4-й ряд: 13 мест
- 5-й ряд: 14 мест
- 6-й ряд: 15 мест
- 7-й ряд: 16 мест
- 8-й ряд: 17 мест
- 9-й ряд: 18 мест
- 10-й ряд: 19 мест
- 11-й ряд: 20 мест
- 12-й ряд: 21 место
- 13-й ряд: 22 места
- 14-й ряд: 23 места

Таким образом, у нас 14 рядов.

### 3. Расчет мест

Теперь давайте посчитаем количество мест в каждом ряду:

- 10 (1-й) + 11 (2-й) + 12 (3-й) + 13 (4-й) + 14 (5-й) + 15 (6-й) + 16 (7-й) + 17 (8-й) + 18 (9-й) + 19 (10-й) + 20 (11-й) + 21 (12-й) + 22 (13-й) + 23 (14-й) 

Формула для суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]

где:
- \(n\) — количество членов
- \(a\) — первый член (10)
- \(l\) — последний член (23)

Подставляем значения:

\[
S = \frac{14}{2} \cdot (10 + 23) = 7 \cdot 33 = 231
\]

Итак, общее количество мест = 231.

### 4. Условия размещения

Теперь нужно учесть условие, что участники не могут сидеть на соседних местах в одном ряду. Это значит, что между каждым двумя школьниками должно быть хотя бы одно пустое место.

Для оптимального размещения, рассмотрим каждый ряд:

- Если в ряду n мест, максимальное количество школьников, которое можно разместить, можно определить по формуле:
  
\[
\text{максимум} = \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil
\]

где \(\left\lceil x \right\rceil\) — округление вверх. 

Эта формула работает так: если количества мест четное, то максимальное количество равняется половине мест, если нечетное — половина с добавлением одного.

### 5. Подсчёт для каждого ряда

Теперь производим расчет:

- 1-й ряд (10 мест): \(\left\lceil \frac{10}{2} \right\rceil = 5\)
- 2-й ряд (11 мест): \(\left\lceil \frac{11}{2} \right\rceil = 6\)
- 3-й ряд (12 мест): \(\left\lceil \frac{12}{2} \right\rceil = 6\)
- 4-й ряд (13 мест): \(\left\lceil \frac{13}{2} \right\rceil = 7\)
- 5-й ряд (14 мест): \(\left\lceil \frac{14}{2} \right\rceil = 7\)
- 6-й ряд (15 мест): \(\left\lceil \frac{15}{2} \right\rceil = 8\)
- 7-й ряд (16 мест): \(\left\lceil \frac{16}{2} \right\rceil = 8\)
- 8-й ряд (17 мест): \(\left\lceil \frac{17}{2} \right\rceil = 9\)
- 9-й ряд (18 мест): \(\left\lceil \frac{18}{2} \right\rceil = 9\)
- 10-й ряд (19 мест): \(\left\lceil \frac{19}{2} \right\rceil = 10\)
- 11-й ряд (20 мест): \(\left\lceil \frac{20}{2} \right\rceil = 10\)
- 12-й ряд (21 мест): \(\left\lceil \frac{21}{2} \right\rceil = 11\)
- 13-й ряд (22 места): \(\left\lceil \frac{22}{2} \right\rceil = 11\)
- 14-й ряд (23 места): \(\left\lceil \frac{23}{2} \right\rceil = 12\)

### 6. Подсчет общего количества школьников

Теперь суммируем:

\[
5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 = 134
\]

### 7. Ответ

Таким образом, максимальное количество школьников, которые могли присутствовать на олимпиаде в данной аудитории с учётом ограничения по соседним местам, составляет **134**.