Как решить: Знайка для каждого числа на красной грани получил 34, 35 и 41?

Для решения задачи нужно внимательно рассмотреть условие и структуру куба, а также связи между числами на гранях.

### Шаг 1: Понимание структуры куба
Куб имеет 6 граней. В данной задаче три из них окрашены в красный цвет, а три — в белый. Обозначим красные грани как \( R_1, R_2, R_3 \), а белые — как \( W_1, W_2, W_3 \).

Каждая красная грань имеет 4 соседние грани, которые могут быть либо белыми, либо другими красными. Важно заметить, что сумма чисел на соседних гранях для каждой красной грани будет включать как белые, так и, возможно, другие красные грани.

### Шаг 2: Составление уравнений
Согласно условию, Знайка считает суммы чисел на четырех соседних гранях для каждой из красных граней и получает результаты 34, 35 и 41. Обозначим числа на красных гранях как \( a, b, c \) (соответствующие \( R_1, R_2, R_3 \)), а на белых как \( x_1, x_2, x_3 \) (соответствующие \( W_1, W_2, W_3 \)).

Мы получаем следующие уравнения для сумм:

1. \( S(a) = x_1 + x_2 + x_3 + b + c = 34 \)
2. \( S(b) = x_1 + x_2 + x_3 + a + c = 35 \)
3. \( S(c) = x_1 + x_2 + x_3 + a + b = 41 \)

Где \( S(a) \), \( S(b) \) и \( S(c) \) — суммы для красных граней.

### Шаг 3: Суммирование уравнений
Теперь давайте сложим все три уравнения:

\[
S(a) + S(b) + S(c) = (x_1 + x_2 + x_3 + b + c) + (x_1 + x_2 + x_3 + a + c) + (x_1 + x_2 + x_3 + a + b)
\]

Это можно упростить до:

\[
34 + 35 + 41 = 3(x_1 + x_2 + x_3) + 2(a + b + c)
\]

Считаем левую часть:

\[
34 + 35 + 41 = 110
\]

Мы получили уравнение:

\[
110 = 3(x_1 + x_2 + x_3) + 2(a + b + c)
\]

### Шаг 4: Обозначение переменных
Давайте обозначим \( S_w = x_1 + x_2 + x_3 \) (сумма чисел на белых гранях) и \( S_r = a + b + c \) (сумма чисел на красных гранях). Теперь у нас есть:

\[
110 = 3S_w + 2S_r
\]

### Шаг 5: Дальнейшие упрощения
Мы знаем, что:

1. \( S(a) - S(b) = -1 \): \( (x_1 + x_2 + x_3 + b + c) - (x_1 + x_2 + x_3 + a + c) = 34 - 35 \Rightarrow b - a = -1 \Rightarrow b = a - 1 \)
2. \( S(b) - S(c) = -6 \): \( (x_1 + x_2 + x_3 + a + c) - (x_1 + x_2 + x_3 + a + b) = 35 - 41 \Rightarrow c - b = -6 \Rightarrow c = b - 6 = a - 7 \)
3. Замещаем \( b \) и \( c \) в уравнение для \( S_r \):

\[
S_r = a + (a - 1) + (a - 7) = 3a - 8
\]

### Шаг 6: Решим систему
Подставим выражение \( S_r \) в первое уравнение:

\[
110 = 3S_w + 2(3a - 8) \implies 110 = 3S_w + 6a - 16 \implies 3S_w = 126 - 6a \implies S_w = 42 - 2a
\]

Теперь у нас есть:

1. \( S_r = 3a - 8 \)
2. \( S_w = 42 - 2a \)

### Шаг 7: Найдем сумму всех чисел
Общая сумма чисел \( S_t \):

\[
S_t = S_r + S_w = (3a - 8) + (42 - 2a) = a + 34
\]

### Шаг 8: Оптимизация и значения
Поскольку \( a \), \( b \), и \( c \) являются целыми числами, мы можем подставить возможные значения \( a \) для нахождения рациональных решений. Сложив все уравнения, определяется сумма \( a + 34 \).

При подставлении \( a = 8 \):

1. \( b = 7 \)
2. \( c = 1 \)

Сумма всех чисел тогда составит \( 8 + 7 + 1 + (42 - 2 \cdot 8) \).

### Итог
В итоге, сумма всех чисел, написанных Незнайкой на гранях куба, составляет:

\[
\text{Ответ: } 34 + 8 = 42
\] 

Таким образом, итоговая сумма всех чисел равна **42**.