Сколько сущ натур чисел x для котор найдутся y и z ,что 2x+7y+14z=1400?

Решение уравнения вида \(2x + 7y + 14z = 1400\) требует анализа и взаимодействия трех переменных: \(x\), \(y\) и \(z\). Давайте поэтапно разберемся, сколько существует натуральных чисел \(x\), для которых существуют целые числа \(y\) и \(z\), удовлетворяющие данному уравнению.

### Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Первым делом, заметим, что \(14z\) можно переписать как \(2 \cdot 7z\). Таким образом, уравнение можно переработать:

\[
2x + 7y + 14z = 1400
\]
\[
2x + 7y + 2 \cdot 7z = 1400
\]

Ненужные два можно вынести за скобки:

\[
2(x + 7z) + 7y = 1400
\]

### Шаг 2: Введение новой переменной

Введем новую переменную:

\[
k = x + 7z
\]

Тогда уравнение становится:

\[
2k + 7y = 1400
\]

### Шаг 3: Исследование нового уравнения

Теперь мы можем выразить \(y\) через \(k\):

\[
7y = 1400 - 2k
\]
\[
y = \frac{1400 - 2k}{7}
\]

Чтобы \(y\) было натуральным числом, \(1400 - 2k\) должно делиться на 7.

### Шаг 4: Условия делимости

Рассмотрим, что означает делимость \(1400 - 2k\) на 7:

\[
1400 \mod 7 \equiv 0 \quad \text{(поскольку } 1400 = 200 \cdot 7\text{)}
\]
\[
2k \mod 7 \equiv 0
\]

Это приводит нас к тому, что \(k\) также должно быть кратно \(7\). Запишем это условие:

\[
k = 7m \quad (m \in \mathbb{N})
\]

### Шаг 5: Подстановка нового \(k\)

Подставим значение \(k\) в уравнение:

\[
y = \frac{1400 - 2(7m)}{7} = \frac{1400 - 14m}{7} = 200 - 2m
\]

Теперь мы можем выразить \(x\):

\[
x = k - 7z = 7m - 7z = 7(m - z)
\]

### Шаг 6: Условия для \(x\) и \(y\)

Для \(x\) и \(y\) быть натуральными числами, необходимо:

1. \(m - z > 0\) (так как \(x = 7(m - z)\)).
2. \(200 - 2m > 0\) (так как \(y = 200 - 2m\)).

### Шаг 7: Ограничения для \(m\)

Теперь найдем границы для \(m\):

1. Из \(200 - 2m > 0 \Rightarrow m < 100\).
2. Из \(m - z > 0 \Rightarrow z < m\).

### Шаг 8: Определение решений

Теперь \(m\) может принимать значения от 1 до 99. Для каждого значения \(m\) есть \(m - 1\) возможных значений для \(z\) (от 0 до \(m - 1\)). Таким образом, общее количество решений зависит от \(m\):

- Для \(m = 1\): \(z\) не может быть выбрано (0 вариантов).
- Для \(m = 2\): 1 вариант (0).
- Для \(m = 3\): 2 варианта (0, 1).
- ...
- Для \(m = 99\): 98 вариантов (0, 1, ..., 97).

Общее количество:

\[
\sum_{m=1}^{99} (m - 1) = 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 98 = \frac{98 \cdot 99}{2} = 4851.
\]

### Заключение

Таким образом, существует \(4851\) натуральных чисел \(x\) для которых найдутся натур. числа \(y\) и \(z\), такие что \(2x + 7y + 14z = 1400\). Это интересное уравнение демонстрирует взаимозависимость различных переменных и хорошо иллюстрирует методы работы с линейными уравнениями.