Как решить: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см?

Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и площадь, давайте следовать четкому алгоритму шаг за шагом.

### Дано:
1. Длина гипотенузы \( c = 41 \) см.
2. Площадь треугольника \( S = 180 \) см².

### Необходимо найти:
Катеты треугольника, обозначим их как \( a \) и \( b \).

### Шаг 1: Запись формул
Для прямоугольного треугольника действуют следующие формулы:

1. **Площадь треугольника**: 
   \[
   S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
   \]
   
2. **Теорема Пифагора**:
   \[
   c^2 = a^2 + b^2
   \]

### Шаг 2: Подстановка известных значений
Подставим известные значения площади в формулу. Из площади выразим одно из катетов через другое:

\[
180 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \implies a \cdot b = 360 \quad (1)
\]

### Шаг 3: Запись выражения для гипотенузы
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, подставляя значение гипотенузы:

\[
41^2 = a^2 + b^2 \implies 1681 = a^2 + b^2 \quad (2)
\]

### Шаг 4: Подстановка и решение системы
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Начнем с (1) и выразим \( b \) через \( a \):

\[
b = \frac{360}{a} \quad (3)
\]

Теперь подставим (3) в (2):

\[
1681 = a^2 + \left(\frac{360}{a}\right)^2
\]
\[
1681 = a^2 + \frac{129600}{a^2}
\]

Умножим обе стороны на \( a^2 \) для избавления от знаменателя:

\[
1681 a^2 = a^4 + 129600
\]

### Шаг 5: Преобразование уравнения
Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[
a^4 - 1681 a^2 + 129600 = 0
\]

Теперь сделаем замену \( x = a^2 \):

\[
x^2 - 1681x + 129600 = 0
\]

### Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Применим формулу корней квадратного уравнения:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1681 \pm \sqrt{1681^2 - 4 \cdot 1 \cdot 129600}}{2 \cdot 1}
\]
Вычислим дискриминант:

\[
1681^2 = 2825761
\]
\[
4 \cdot 129600 = 518400
\]
\[
D = 2825761 - 518400 = 2307361
\]

Теперь находим \( \sqrt{2307361} = 1518 \).

Подставляем в формулу:

\[
x = \frac{1681 \pm 1518}{2}
\]

Это дает два значения:

1. 
\[
x_1 = \frac{3199}{2} = 1599.5 
\]
2. 
\[
x_2 = \frac{163}{2} = 81.5
\]

### Шаг 7: Обратная замена
Нам нужны все катеты, берём корень из найденных \( x \):

1. \( a^2 = 81.5 \Rightarrow a = \sqrt{81.5} \approx 9.04 \, \text{см} \)
2. Мы находим \( b \):

\[
b = \frac{360}{a} \approx \frac{360}{9.04} \approx 39.87 \, \text{см}
\]

### Итог
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника имеют длины примерно:
- \( a \approx 9.04 \, \text{см} \)
- \( b \approx 39.87 \, \text{см} \)

Эти значения подтвердят задание, так как их произведение дает площадь 180 см², а сумма в квадрате — длину гипотенузы 41 см.