Как решить: Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км?

Давайте разберем задачу поэтапно и подробно, чтобы получить искомые скорости автомобилей.

### Шаг 1: Определение переменных

Обозначим скорость первого автомобиля как \(v_1\) (км/ч), а скорость второго автомобиля как \(v_2\) (км/ч). 

Согласно условию задачи,
1. Расстояние между двумя городами \(L = 240\) км.
2. Расстояние между автомобилями через 2 часа после выезда составило 40 км.
3. Встреча автомобилей произошла до истечения 2 часов.
4. Один из автомобилей проехал весь путь на час быстрее, чем другой.

### Шаг 2: Установка уравнений

Сначала определим, сколько километров проехали автомобили за 2 часа:

- Первый автомобиль за 2 часа проехал \(2v_1\) км.
- Второй автомобиль за 2 часа проехал \(2v_2\) км.

Поскольку автомобили встречаются, в момент встречи между ними остается 40 км. Это означает, что суммарное расстояние, проезжаемое обоими автомобилями, можно выразить следующим образом:

\[
2v_1 + 2v_2 + 40 = 240
\]

Упростим это уравнение:

\[
2v_1 + 2v_2 = 200
\]
\[
v_1 + v_2 = 100 \quad \text{(1)}
\]

### Шаг 3: Условия о времени

Теперь разберемся с тем, на сколько быстрее один из автомобилей по времени. Обозначим время, которое проехал первый автомобиль, как \(t_1\) (ч), а второго – \(t_2\) (ч). По условию, \(t_1 = t_2 - 1\).

Поскольку путь между городами составляет 240 км, можем записать уравнения для времени:

\[
t_1 = \frac{240}{v_1} 
\]
\[
t_2 = \frac{240}{v_2} 
\]

С учетом соотношения времени, получим:

\[
\frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_2} - 1 \quad \text{(2)}
\]

### Шаг 4: Объединение уравнений

Из уравнения (1) выразим \(v_2\):

\[
v_2 = 100 - v_1
\]

Теперь подставим \(v_2\) в уравнение (2):

\[
\frac{240}{v_1} = \frac{240}{100 - v_1} - 1
\]

Уничтожим дроби, умножив все на \(v_1(100 - v_1)\):

\[
240(100 - v_1) = 240v_1 - v_1(100 - v_1)
\]
\[
24000 - 240v_1 = 240v_1 - 100v_1 + v_1^2
\]
\[
24000 = 480v_1 - 100v_1 + v_1^2
\]
\[
v_1^2 - 380v_1 + 24000 = 0
\]

### Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D\):

\[
D = (-380)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24000 = 144400 - 96000 = 48400
\]

Следовательно, корни уравнения можно найти по формуле:

\[
v_1 = \frac{380 \pm \sqrt{48400}}{2} = \frac{380 \pm 220}{2}
\]

Находим два значения:

1. \(v_1 = \frac{600}{2} = 300\) (не подходит, так как превышает общее расстояние).
2. \(v_1 = \frac{160}{2} = 80\).

Теперь подставим найденное значение \(v_1\) обратно в уравнение (1):

\[
v_2 = 100 - 80 = 20.
\]

### Шаг 6: Ответ на задачу

Таким образом, скорости автомобилей составляют:

- **Скорость первого автомобиля**: \(80\) км/ч.
- **Скорость второго автомобиля**: \(20\) км/ч.

### Заключение

Мы рационально подошли к решению задачи через поэтапное введение переменных и использование системы уравнений. Успех в такой категории задач зависит от аккуратности формулировок и внимательности в расчетах, что позволяет избежать ошибок и достичь искомых результатов.