Чему равно p, если уравнение х²+pх+q=0 имеет корни −7 и 3?

Чтобы найти значение \( p \) в уравнении \( x^2 + px + q = 0 \) с известными корнями \( -7 \) и \( 3 \), нам нужно воспользоваться свойствами корней квадратного уравнения. Пройдемся по шагам:

### Шаг 1: Определение корней

По условию задачи мы имеем корни \( x_1 = -7 \) и \( x_2 = 3 \). Для квадратного уравнения эти корни связаны с коэффициентами через следующие формулы:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), где \( b \) — коэффициент при \( x \) (в нашем случае \( p \)), а \( a \) — коэффициент при \( x^2 \) (в нашем случае \( a = 1 \)).
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \), где \( c \) — свободный член (в нашем случае \( q \)).

### Шаг 2: Нахождение суммы корней

Сумма корней:
\[
x_1 + x_2 = -7 + 3 = -4.
\]
По формуле для суммы корней мы знаем, что \( -\frac{p}{1} = -4 \). Это дает нам уравнение:
\[
-p = -4 \quad \Rightarrow \quad p = 4.
\]

### Шаг 3: Нахождение произведения корней

Произведение корней:
\[
x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 3 = -21.
\]
Согласно формуле для произведения корней, мы имеем:
\[
\frac{q}{1} = -21 \quad \Rightarrow \quad q = -21.
\]

### Шаг 4: Подтверждение результатов

Теперь у нас есть \( p = 4 \) и \( q = -21 \). Мы можем записать полное уравнение:
\[
x^2 + 4x - 21 = 0.
\]
Для проверки правильности наших вычислений можем воспользоваться формулой дискримината:
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21).
\]
Вычисляем:
\[
D = 16 + 84 = 100.
\]
Так как дискриминант \( D \) положителен, уравнение имеет два действительных и различных корня, что подтверждает, что значения \( -7 \) и \( 3 \) действительно являются корнями данного уравнения.

### Шаг 5: Заключение

Таким образом, значение \( p \) в уравнении \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( -7 \) и \( 3 \) равно:
\[
\boxed{4}.
\]
Важно отметить, что методы нахождения коэффициентов в квадратном уравнении через корни крайне полезны в алгебре, так как позволяют наладить связь между разными аспектами уравнения, такими как его график и поведение функции. Это знание также облегчает решение многих комбинаторных задач и задач по математическому анализу.