Чему равна длина медианы BM, если в треугольнике ABC AB=BC=15, AC=24?

Для решения задачи о нахождении длины медианы BM в треугольнике ABC, где AB = BC = 15 и AC = 24, давайте пошагово разберем все необходимые шаги.

### Шаг 1: Определение координат вершин треугольника

Выберем удобную систему координат для треугольника ABC. Пусть:
- Точка A будет в начале координат: \( A(0, 0) \);
- Точка B будет находиться на оси X: \( B(15, 0) \);
- Точка C, находясь на расстоянии 24 от A и 15 от B, будет располагаться на оси Y, а затем будем использовать теорему Пифагора для нахождения координат C.

### Шаг 2: Находим координаты точки C

Используем уравнение круга для точки C относительно точки A (радиус 24) и точки B (радиус 15):
1. Уравнение для точки A: \( x^2 + y^2 = 24^2 \).
2. Уравнение для точки B: \( (x - 15)^2 + y^2 = 15^2 \).

Итак, подставим в уравнение, соответствующее B:

\[
(x - 15)^2 + y^2 = 225
\]

Решая обе системы равенств, мы можем выразить \( y^2 \) в обеих формах. Из первого уравнения:

\[
y^2 = 576 - x^2
\]

Подставляя это значение во второе уравнение:

\[
(x - 15)^2 + (576 - x^2) = 225
\]
\[
x^2 - 30x + 225 + 576 - x^2 = 225
\]
\[
-30x + 576 = 0
\]
\[
x = \frac{576}{30} = 19.2
\]

Используя найденное значение \( x \), найдем \( y \):

\[
y^2 = 576 - (19.2)^2 = 576 - 368.64 = 207.36 \implies y \approx 14.4
\]

Таким образом, координаты точки C: \( C(19.2, 14.4) \).

### Шаг 3: Координаты середины стороны AC

Теперь найдем координаты средней точки M отрезка AC:
\[
M\left(\frac{0 + 19.2}{2}, \frac{0 + 14.4}{2}\right) = \left(9.6, 7.2\right)
\]

### Шаг 4: Находим длину медианы BM

Используем формулу расстояния между точками B и M. Координаты точки B (15, 0):

Расстояние BM вычисляется по формуле:

\[
BM = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} = \sqrt{(15 - 9.6)^2 + (0 - 7.2)^2}
\]

Подсчитываем:

1. \( (15 - 9.6)^2 = (5.4)^2 = 29.16 \)
2. \( (0 - 7.2)^2 = (-7.2)^2 = 51.84 \)

Теперь складываем:

\[
BM = \sqrt{29.16 + 51.84} = \sqrt{81} = 9
\]

### Итог

Таким образом, длина медианы BM в треугольнике ABC равна 9. Эта задача наглядно демонстрирует применение координатной геометрии и теоремы Пифагора для вычисления необходимых величин в треугольниках. Успех при решении подобных задач зависит от точного понимания геометрии и аккуратного выполнения математических операций.