Чему равна S равнобедренного треугольника, если его P 144, а основание 64?

Чтобы найти площадь \( S \) равнобедренного треугольника с заданными величинами периметра \( P = 144 \) и основания \( a = 64 \), давайте разберем задачу по шагам.

### Шаг 1: Определение сторон треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, обозначим их как \( b \). Зная, что периметр \( P \) равен сумме всех сторон, мы можем записать уравнение:

\[
P = a + 2b
\]

Подставляем известные значения:

\[
144 = 64 + 2b
\]

### Шаг 2: Решение уравнения

Вычтем \( 64 \) из обеих сторон уравнения:

\[
144 - 64 = 2b
\]
\[
80 = 2b
\]

Теперь разделим на \( 2 \):

\[
b = 40
\]

Таким образом, длина боковых сторон равнобедренного треугольника составляет \( 40 \) единиц.

### Шаг 3: Нахождение высоты

С помощью высоты треугольника, проведенной из вершины к основанию, мы можем определить площадь. Высота делит основание пополам, следовательно, половина основания равна:

\[
\frac{a}{2} = \frac{64}{2} = 32
\]

Теперь рассмотрим треугольник, состоящий из высоты \( h \), половины основания \( 32 \) и одной из боковых сторон \( b = 40 \). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \):

\[
b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

Подставляем значения:

\[
40^2 = h^2 + 32^2
\]
\[
1600 = h^2 + 1024
\]

Теперь решим для \( h^2 \):

\[
h^2 = 1600 - 1024 = 576
\]
\[
h = \sqrt{576} = 24
\]

В результате, высота \( h \) равна \( 24 \).

### Шаг 4: Вычисление площади

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

Подставляем известные значения:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 24
\]
\[
S = 32 \cdot 24 = 768
\]

### Итог

Таким образом, площадь \( S \) равнобедренного треугольника составляет \( 768 \) квадратных единиц. 

### Дополнительные размышления

Необходимо отметить, что изучение свойств равнобедренного треугольника дает нам не только понимание о расчетах, но и об его геометрическом строении. Например, все углы при основании равнобедренного треугольника равны, что имеет значение в различных задачах на нахождение углов.

Кроме того, равнобедренный треугольник часто возникает в задачах, связанных с симметрией, и может служить основой для более сложных конструкций в геометрии. Рассмотрение таких треугольников полезно для студентов и тех, кто изучает математику, так как это помогает формировать четкое понимание основ геометрии и тригонометрии.