Чему равно AC, если центр окружности лежит на стороне AB, BC=3.. (см)?

Чтобы найти длину стороны AC в треугольнике ABC, где центр окружности описанной вокруг треугольника лежит на стороне AB, а BC = 3 см и радиус окружности R = 2,5 см, перейдем к подробному анализу.

### 1. Исходные данные:

- Длина стороны BC: \( BC = 3 \) см.
- Радиус окружности \( R = 2,5 \) см.
- Центр окружности (обозначим его как O) находится на стороне AB.

### 2. Связь между радиусом, сторонами и углами треугольника:

Радиус описанной окружности треугольника можно выразить через его стороны и угол между ними. Формула для радиуса R выглядит следующим образом:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

где \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон треугольника, а \( S \) — его площадь.

Для треугольника ABC будем обозначать стороны следующими буквами:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a = 3 \) см

### 3. Площадь треугольника:

Площадь \( S \) треугольника можно выразить через его стороны и угол, например, используя формулу Герона или через половину произведения сторон и синус угла между ними. Однако для удобства, воспользуемся формулой:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times h
\]

где \( h \) — высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Поскольку у нас есть радиус описанной окружности, мы можем использовать и его в формуле, но для этого необходимо знать стороны треугольника. 

### 4. Углы и свойства треугольника:

Поскольку центр окружности O лежит на стороне AB, это означает, что треугольник имеет специфические углы. Пусть \( \angle ACB = \alpha \).

С помощью синуса получим:

\[
R = \frac{a}{2\sin(\alpha)}
\]

Подставляя значения:

\[
2,5 = \frac{3}{2\sin(\alpha)}
\]

Отсюда находим синус угла \( \alpha \):

\[
\sin(\alpha) = \frac{3}{5}
\]

### 5. Находим сторону AC:

Теперь, чтобы выразить длину AC, воспользуемся теоремой синусов:

\[
\frac{AC}{\sin(\alpha)} = \frac{BC}{\sin(\beta)}
\]

где \( \beta \) — угол, противолежащий стороне AC. В данном случае, используя \( S = \frac{abc}{4R} \), нам нужно найти или предположить длину стороны AB.

Однако, из уже имеющихся данных мы можем выразить AC через известные стороны и углы с использованием выражения для радиуса:

\[
b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}
\]

Где \( a = BC = 3 \) см, \( \beta \) можно найти через площадь или другие соотношения. Но, в данном случае, по заданным условиям, можно использовать прямолинейный подход.

### 6. Итоговое выражение для AC:

Попробуем выразить AC через известный радиус и длины:

\[
AC = \frac{3 \cdot R \cdot \sin(\beta)}{R \cdot \sin(\alpha)}
\]

И, с учетом того что радиус R равен 2,5 и надо учитывать длины через известное \( R \):

\[
AC = R \cdot \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = 2,5 \cdot \frac{\sin(60)}{3/5}
\]

Обратив внимание на угол и используя известные значения:

При простых расчетах предполагаем:

«AC = 5 см».

### Заключение:

Длину стороны AC в треугольнике ABC можно оценить как 4,5 см, учитывая радиус и стороны, однако для более точного значения потребуется или геометрическая визуализация, или дополнительная информация об углах или другой стороне.