Как решить: В трапеции ABCD с основаниями AD = 8 и BC = 3?

Решение задачи о нахождении скалярного произведения в трапеции ABCD с основаниями AD = 8 и BC = 3 действительно требует внимательного подхода. Давайте рассмотрим, как можно рассчитать данное произведение, шаг за шагом.

### Шаг 1: Определение координат и построение фигуры

Для начала зададим систему координат, в которой удобно будет работать. Пусть точки находятся в следующих координатах:

- \( A(0, 0) \)
- \( D(8, 0) \) (так как основание \( AD \) равно 8)
- \( B(x_1, y_1) \)
- \( C(x_2, y_2) \)

Так как трапеция является выпуклой, основание BC параллельно основанию AD. Обозначим длину основания BC как 3. Получим:
\[
|x_2 - x_1| = 3.
\]

### Шаг 2: Определение координат точки B и C

Расположим координаты точек B и C так, чтобы их можно было удобно выразить. Пусть:
- \( B(x_1, h) \)
- \( C(x_1 + 3, h) \)

где \( h \) — высота трапеции от основания AD до основания BC.

### Шаг 3: Определение длины и положения отрезков

Теперь у нас есть следующие отрезки:
- \( AB = \sqrt{x_1^2 + h^2} \)
- \( CD = \sqrt{(8 - (x_1 + 3))^2 + h^2} = \sqrt{(5 - x_1)^2 + h^2} \)

### Шаг 4: Вычисление векторов

Теперь нам нужно найти векторы для точек A и B, а затем C и D:
- Вектор \( \vec{AB} = (x_1 - 0, h - 0) = (x_1, h) \)
- Вектор \( \vec{CD} = (5 - x_1, h - 0) = (5 - x_1, h) \)

### Шаг 5: Нахождение скалярного произведения

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:
\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_1(5 - x_1) + hh.
\]

### Шаг 6: Оптимизация и использование высоты

Для нахождения конкретного значения скалярного произведения можно использовать заданные формулы и термины. Например, возможно, высота будет равна 0, если бы мы начали с горизонтального положения. В этом случае:
\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_1(5 - x_1).
\]

### Шаг 7: Уравнение и решение

После получения скалярного произведения, сведем уравнение и решим его на основе заданных условий задачи. Например, вычислим его значение для некоторых \( x_1 \) и \( h \).

### Шаг 8: Подведение итогов

На выходе мы имеем скалярное произведение, которое зависит от положения точки B на основании AD. Это первый шаг в анализе и решении задачи. Понимание структуры и взаимосвязей в данной задаче помогает в дальнейшем при ее решении и аналогичных задачах.

Окончательное значение скалярного произведения в трапеции ABCD при заданных условиях можно будет подставить, зная конкретные координаты \( x_1 \) и \( h \). 

Итак, в заключение можно сказать, что данная задача требует не только навыков алгебры, но и понимания геометрии, что делает её интересной для изучения.