Как найти вероятность, что стрелок попал в мишень трижды из 5 выстрелов?

Чтобы решить задачу о вероятности попадания стрелка в мишень трижды из пяти выстрелов, зная, что в первом выстреле он попал, мы можем воспользоваться комбинаторным методом и формулой для биномиального распределения.

### Шаг 1: Определим известные параметры
- **Общее количество выстрелов**: \( n = 5 \)
- **Вероятность попадания:** \( p = 0.8 \)
- **Вероятность промаха:** \( q = 1 - p = 0.2 \)
- **Известно, что в первом выстреле попадание состоялось.** 

### Шаг 2: Прыжок к новой задаче
Мы можем рассматривать ситуацию как задачу, в которой стрелок делает только четыре оставшихся выстрела, так как первый выстрел уже состоялся и попал в мишень. Нам нужно узнать, сколько раз стрелок попадет в оставшихся четырех выстрелах. 

### Шаг 3: Переписываем требование
Теперь необходимо, чтобы стрелок попал в мишень еще два раза (всего три попадания, так как одно из них уже зафиксировано) из оставшихся четырех выстрелов. 

### Шаг 4: Комбинаторные возможности
Для решения задачи используется биномиальное распределение для 4 выстрелов, где:
- \( k \) — количество попаданий (в нашем случае 2),
- \( n \) — общее количество оставшихся выстрелов (4).

Итак, мы ищем вероятность \( P(X = 2) \), где \( X \) — количество попаданий в 4 выстрела.

### Шаг 5: Формула биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности успешного исхода \( k \) раз из \( n \) испытаний выглядит следующим образом:

\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.

### Шаг 6: Подсчет биномиального коэффициента
В нашем случае:
- \( n = 4 \)
- \( k = 2 \)

Мы вычисляем биномиальный коэффициент \( C(4, 2) \):

\[
C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6
\]

### Шаг 7: Подставляем значения
Теперь подставим значения в формулу:

\[
P(X = 2) = C(4, 2) \cdot p^2 \cdot q^{4-2}
\]
\[
P(X = 2) = 6 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^2
\]

### Шаг 8: Вычисляем
Сначала вычислим каждую часть: 

\[
(0.8)^2 = 0.64
\]
\[
(0.2)^2 = 0.04
\]

Теперь подставим в формулу:

\[
P(X = 2) = 6 \cdot 0.64 \cdot 0.04 = 6 \cdot 0.0256 = 0.1536
\]

### Шаг 9: Итог
Итак, итоговая вероятность того, что стрелок попал в мишень трижды (зная, что он попал в первый выстрел), равна **0.1536** или **15.36%**.

Эта задача демонстрирует интересный случай применения комбинаторики и теории вероятностей при условии известных событий и дает возможность понять, как используются биномиальные распределения в реальных задачах.