Как решить: Если каждое ребро куба увеличить на 1 (см. рис.)?

Для решения задачи, в которой нам необходимо найти длину ребра куба, исходя из условия об увеличении площади его поверхности после увеличения длины каждого ребра на 1 см, следуем следующему алгоритму:

### Шаг 1: Определение переменных
Обозначим длину ребра первоначального куба как \( a \) см. Это будет наша основная переменная.

### Шаг 2: Площадь поверхности оригинального куба
Площадь поверхности куба вычисляется по формуле:
\[
S = 6a^2
\]
где \( 6 \) — количество граней куба, и \( a^2 \) — площадь одной грани.

### Шаг 3: Площадь поверхности увеличенного куба
Если каждое ребро увеличивается на 1 см, новое значение длины ребра будет равно \( a + 1 \) см. Теперь можем найти площадь поверхности увеличенного куба:
\[
S' = 6(a + 1)^2
\]

### Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и упростим выражение для площади увеличенного куба:
\[
S' = 6((a + 1)(a + 1)) = 6(a^2 + 2a + 1) = 6a^2 + 12a + 6
\]

### Шаг 5: Вычисление увеличения площади
Теперь найдем, на сколько увеличилась площадь после увеличения ребра. Это можно сделать, вычитая площадь оригинального куба из площади увеличенного:
\[
\Delta S = S' - S = (6a^2 + 12a + 6) - 6a^2 = 12a + 6
\]

### Шаг 6: Условие задачи
Согласно условию задачи, площадь увеличилась на 42 см². Поэтому можем составить уравнение:
\[
12a + 6 = 42
\]

### Шаг 7: Решение уравнения
Теперь решим это уравнение относительно \( a \):
\[
12a = 42 - 6
\]
\[
12a = 36
\]
\[
a = \frac{36}{12} = 3
\]

### Шаг 8: Ответ
Длина ребра оригинального куба составляет \( 3 \) см.

### Дополнительные соображения
Мы можем сделать несколько выводов и заметок относительно данного решения:

1. **Геометрическое понимание**: Куб является простейшей формой в пространстве, где все ребра равны. Увеличение длины ребер приводит к увеличению не только площади, но и объема объекта, что может быть использовано в различных практических приложениях.

2. **Практическая природа задачи**: В реальной жизни такие задачи могут возникать в различных областях — от архитектуры до упаковки и дизайна интерьеров.

3. **Проверка**: Всегда полезно проверять найденные решения. Подставляя \( a = 3 \) в уравнение увеличения площади: \( 12 \cdot 3 + 6 = 36 + 6 = 42 \), мы убеждаемся, что наше решение верное.

Следуя этим шагам, мы уверенно находим, что длина ребра куба, увеличенного на 1 см с учетом изменения площади, равна 3 см.