Как решить: Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону?

Для решения задачи о времени, в течение которого мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберёмся с уравнением высоты по времени и определим интересующий нас диапазон.

### Шаг 1: Установление уравнения и неравенства
Дано уравнение высоты мяча:  
\[ h(t) = 2,25 + 8t - 4t^2 \]  

Мы хотим найти, в течение какого времени высота \( h(t) \) будет не менее четырёх метров:
\[ h(t) \geq 4 \]

### Шаг 2: Запись неравенства
Подставим в уравнение высоты значение 4. Получаем:
\[ 2,25 + 8t - 4t^2 \geq 4 \]

### Шаг 3: Преобразование неравенства
Переносим все на одну сторону:
\[ 2,25 + 8t - 4t^2 - 4 \geq 0 \]  
\[ -4t^2 + 8t - 1,75 \geq 0 \]  
Для удобства приведём к стандартному виду:
\[ 4t^2 - 8t + 1,75 \leq 0 \]

### Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь нужно найти корни квадратного уравнения \( 4t^2 - 8t + 1,75 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1,75 = 64 - 28 = 36 \]

Теперь найдём корни:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2 \cdot 4} \]

Корни уравнения:
1. \( t_1 = \frac{14}{8} = 1,75 \)
2. \( t_2 = \frac{2}{8} = 0,25 \)

### Шаг 5: Определение интервала времени
Теперь у нас есть два времени: \( t_1 = 0,25 \) и \( t_2 = 1,75 \). Так как это параллелепипед, график функции будет выпуклым и неравенство \( 4t^2 - 8t + 1,75 \leq 0 \) будет выполняться между этими корнями. Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров в интервале:
\[ 0,25 \leq t \leq 1,75 \]

### Шаг 6: Подсчёт продолжительности
Теперь, чтобы определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров, нужно вычесть корни:
\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 1,75 - 0,25 = 1,5 \] 

Таким образом, **мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров в течение 1,5 секунд**.

### Шаг 7: Дополнительные соображения
Такое моделирование движения мяча может помочь в других физических задачах, где важно понимать не только максимальную высоту, но и временные промежутки, когда предмет остаётся в определённых зонах. В реальной жизни это можно применить в спортивных дисциплинах, таких как лёгкая атлетика или гимнастика, а также для анализа траекторий движущихся объектов в инженерных науках.

Таким образом, мы детально проанализировали уравнение высоты, выполнили необходимые математические преобразования и нашли ответ на поставленную задачу.