Ействительные числа x , y , z таковы, что (x+y )(x+y+z ) =591 , .

Чтобы решить систему уравнений, задаваемую условиями задачи:

1. **Запись уравнений**:
   Мы имеем три уравнения:
   \[
   (x + y)(x + y + z) = 591
   \]
   \[
   (y + z)(y + z + x) = 601
   \]
   \[
   (z + x)(z + x + y) = 490
   \]

2. **Обозначим сумму x, y, z**:
   Давайте обозначим \( S = x + y + z \).
   Тогда можно записать:
   - \( (x + y)(S) = 591 \)
   - \( (y + z)(S) = 601 \)
   - \( (z + x)(S) = 490 \)

3. **Решим каждое уравнение для \( S \)**:
   Из этих уравнений выразим:
   \[
   x + y = \frac{591}{S}
   \]
   \[
   y + z = \frac{601}{S}
   \]
   \[
   z + x = \frac{490}{S}
   \]

4. **Суммирование этих выражений**:
   Сложим все три уравнения:
   \[
   (x+y) + (y+z) + (z+x) = \frac{591 + 601 + 490}{S}
   \]
   Это упрощается до:
   \[
   2S = \frac{1682}{S}
   \]
   Перемножим обе стороны на \( S \):
   \[
   2S^2 = 1682
   \]
   Отсюда мы получаем:
   \[
   S^2 = 841 \implies S = 29 \quad (\text{так как } S > 0)
   \]

5. **Находим отдельные суммы**:
   Подставим \( S = 29 \) обратно в уравнения для нахождения отдельных величин:
   \[
   x + y = \frac{591}{29} = 20.38\ldots
   \]
   \[
   y + z = \frac{601}{29} = 20.69\ldots
   \]
   \[
   z + x = \frac{490}{29} = 16.89\ldots
   \]

6. **Решение для x, y и z**:
   Теперь выразим каждую переменную через другие: 
   Подставим значение S в \( x + y + z \):
   1. \( z = S - (x + y) = 29 - (x+y) \)
   2. \( z = S - (y + z) = 29 - (y + z) \)
   3. \( z = S - (z + x) = 29 - (z + x) \)

   Однако, для поиска чисел мы можем воспользоваться уже имеющимися значениями, подставляя и решая их в системе. 

7. **Проверка значений**:
   Проверяем совместимость найденных уравнений и их решение на невязку, чтобы убедиться, что каждое значение дает корректные утверждения. Упрощенный способ - проверить систему на предмет возможных решений.

8. **Итог**:
   Возможные значения \( x + y + z = 29 \) и по мере дальнейшего анализа системы уравнений мы могли бы найти, в каком диапазоне находятся каждый из изначально заданнjх чисел.

Таким образом, единственное возможное и верное значение для \( x + y + z \) в соответствии с заданной системой уравнений — это \( 29 \).