Как решить: В треугольнике АВС сторона АВ равна 8√3, угол С равен 120°?

Для решения задачи о нахождении радиуса описанной около треугольника окружности (R) с известными сторонами и углом, давайте подробно разберем последовательные шаги.

### Дано:

- Сторона \( AB = 8\sqrt{3} \)
- Угол \( C = 120° \)

### Цель:

Найти радиус описанной окружности \( R \).

### Шаг 1: Используем формулу для радиуса окружности

Для треугольника известно, что радиус описанной окружности можно вычислить по формуле:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

где:
- \( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон треугольника,
- \( S \) — площадь треугольника.

Поскольку у нас известна только одна сторона и угол, нам нужно выразить \( S \) и две другие стороны \( AC \) и \( BC \).

### Шаг 2: Определяем длины сторон

Один из способов найти стороны \( AC \) и \( BC \) — использовать Закон косинусов. Пусть \( AC = b \) и \( BC = a \).

По закону косинусов:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
\]

где \( c = AB \).

Поскольку \( C = 120° \), то \( \cos 120° = -\frac{1}{2} \). Подставляем известные значения:

\[
(8\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

### Шаг 3: Упрощаем уравнение

Подставив значение \( AB \):

\[
192 = a^2 + b^2 + ab
\]

Теперь мы имеем уравнение с двумя неизвестными \( a \) и \( b \).

### Шаг 4: Найдем площадь \( S \)

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

\[
S = \frac{1}{2}ab \sin C
\]

Зная, что \( C = 120° \) и \( \sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2} \), мы можем выразить площадь:

\[
S = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} ab
\]

### Шаг 5: Подставим значения в формулу радиуса

Теперь подставим известные значения (по мере необходимости, некоторые выражения могут потребовать дополнительной обработки):

\[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{(8\sqrt{3})ab}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} ab} = \frac{(8\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 8
\]

### Ответ:

Таким образом, радиус описанной окружности \( R \) равен \( 8 \).

### Итоговые выводы:

- Используя закон косинусов, мы трансформировали проблему нахождения сторон треугольника к уравнению.
- С помощью известного значения угла и сторон мы определили площадь треугольника.
- Далее подставили значения в формулу радиуса описанной окружности.

Это методология решения задачи, которая может понадобиться на ЕГЭ. Такие задачи помогают глубже понять не только конкретные формулы, но и общий подход к геометрическим задачам.