На коорд. плоскости векторы а и b. Как найти произведение векторов 2а и b?

Чтобы рассчитать произведение векторов, таких как \( 2\mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), нужно учитывать, что на плоскости можно рассматривать как скалярное, так и векторное произведение. В данном случае я буду рассматривать именно скалярное произведение.

### 1. Определение векторов
Сначала нужно записать сами векторы. Пусть вектор \( \mathbf{a} \) имеет координаты \( \mathbf{a} = (a_1, a_2) \), а вектор \( \mathbf{b} \) имеет координаты \( \mathbf{b} = (b_1, b_2) \). 

### 2. Удвоение вектора
Вектор \( 2\mathbf{a} \) будет иметь координаты:
\[
2\mathbf{a} = (2a_1, 2a_2)
\]

### 3. Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) и \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \) определяется как:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( 2\mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будет вычислено следующим образом:
\[
(2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = (2a_1, 2a_2) \cdot (b_1, b_2) = 2a_1 b_1 + 2a_2 b_2
\]
Мы можем вынести множитель 2 за скобки:
\[
(2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) = 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
\]

### 4. Пример
Для примера, пусть \( \mathbf{a} = (3, 4) \) и \( \mathbf{b} = (1, 2) \):
- Сначала вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11
\]
- Теперь найдём \( (2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} \):
\[
(2\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 2 \cdot 11 = 22
\]

### 5. Заключение
Таким образом, скалярное произведение векторов \( 2\mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно найти, умножив скалярное произведение оригинальных векторов на 2. Данная операция отлично иллюстрирует свойства линейности скалярного произведения, позволяя легко вычислять произведение, не прибегая к дополнительным вычислениям с удвоенными координатами.

### Дополнительные аспекты
Также стоит упомянуть, что метод вычисления скалярного произведения является важным инструментом в векторной алгебре, имеющем множество приложений в физике, инженерии и компьютерной графике. Умение работать с векторными операциями позволяет глубже понять пространственные отношения и взаимодействия в различных задачах. 

Эти базовые операции с векторами формируют основу для более сложных концепций, таких как работа с плоскостями, проекции векторов на другие векторы и многие другие аспекты аналитической геометрии.