Как решить: Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра 117?

Для решения задачи о сфере, вписанной в цилиндр с известной площадью полной поверхности, можно следовать нескольким шагам. На каждом этапе необходимо уточнять необходимые формулы и понятия, чтобы всё было ясно и доступно.

### Шаг 1: Понимание геометрии задачи

Мы знаем, что шар вписан в цилиндр, что означает, что шар касается стенок цилиндра и его верхней и нижней основ, но не выходит за их пределы. Параметры цилиндра можно описать:

- **R** — радиус основания цилиндра.
- **h** — высота цилиндра.

Поскольку шар вписан, его радиус **r** равен радиусу основания цилиндра (то есть R = r), а высота цилиндра равна диаметру шара (то есть h = 2r).

### Шаг 2: Формула площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра (S_ц) рассчитывается по формуле:

\[
S_{\text{ц}} = 2\pi R h + 2\pi R^2
\]

Где:
- \(2\pi R h\) — площадь боковой поверхности цилиндра.
- \(2\pi R^2\) — площадь двух оснований цилиндра.

### Шаг 3: Подставим соотношения и упростим

Поскольку мы знаем, что R = r и h = 2r:

\[
S_{\text{ц}} = 2\pi R (2R) + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2
\]

### Шаг 4: Подставить известное значение площади

Задано, что площадь полной поверхности цилиндра равна 117:

\[
6\pi R^2 = 117
\]

### Шаг 5: Решение уравнения

Теперь выразим \(R^2\):

\[
R^2 = \frac{117}{6\pi} = \frac{39}{2\pi}
\]

### Шаг 6: Находим радиус шара

Радиус шара равен \(R\) (то есть \(R = r\)), поэтому просто берем корень:

\[
R = r = \sqrt{\frac{39}{2\pi}}
\]

### Шаг 7: Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара (S_ш) рассчитывается по формуле:

\[
S_{\text{ш}} = 4\pi r^2
\]

Подставляем значение \(r^2\):

\[
S_{\text{ш}} = 4\pi\left(\frac{39}{2\pi}\right) = 4\cdot\frac{39}{2} = 78
\]

### Шаг 8: Ответ

Таким образом, площадь поверхности шара, вписанного в цилиндр с площадью полной поверхности 117, равна:

\[
\boxed{78}
\]

### Дополнительно

Понимание данной задачи помогает не только в практическом решении, но и в осознании взаимосвязей между различными геометрическими фигурами. Такие задачи часто возникают в ЕГЭ, и важно развивать навык быстрого превращения данных условий в математические уравнения. Рекомендую также развивать пространственное мышление, чтобы легче представлять подобные геометрические ситуации, что существенно упростит решение.